Espace mystère ou sphère

[invite705d0470]

Bonsoir, me voilà confronté à un exercice assez désarçonnant:

Soit X un ensemble de R3 dont l’intersection avec tout plan est soit vide, soit réduite à un point, soit un cercle. Que peut on dire de X ?

Assez ardu à mon goût, du fait du peu d'informations dont on semble disposer !
Par intuition, c'est une sphère, oui, mais après.
J'arrive à montrer qu'il existe un point tel que tout plan passant par ce point coupe X en un cercle. Auriez vous des pistes pour aller plus loin ?
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[invited5b2473a]

Ca peut être l'ensemble vide si X est vide, un point si X ne contient qu'un point. Si X contient au-moins deux points distincts, alors considère les plans passant par ces deux points. Leurs intersections ne peuvent donc qu'être des cercles...

[invite705d0470]

Aaaah...

Oui, en fait j'étais arrivé dans ces eaux là: Si on considère l'intersection d'un plan avec X qui donne une sphère, et si on note O le centre de cette sphère, alors tout plan passant par O intersectera X en une sphère
Mais toi tu pars dans l'autre sens: tu considères X d'abord et non pas ses intersections avec les plans !
Mais je suppose que ce n'est pas encore suffisant ! Mon idée est d'utiliser la définition d'une sphère comme la partie de l'espace engendrée par la rotation totale d'un grand cercle ..

[invited5b2473a]

Je pars de ce que j'ai : au-moins deux points de X. En considérant l'intersection des plans dont je te parle, puis le plan médiateur à ces deux points, je t'offre un grand cercle. A toi de continuer.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite705d0470]

J'ai un peu de mal à le rédiger ...

Mais je te remercie beaucoup de ton aide !

[Seirios]

Je ne sais pas si tu t'intéresse toujours à ce problème, mais voici ma solution :

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On suppose que notre ensemble X mystère contient au moins deux points (ce qui écarte les cas du point et de l'ensemble vide, qui fonctionnent également). Un plan passant par ces deux points va intersecter X en un cercle . On choisit ensuite un plan normal au plan contenant qui intersecte le cercle en deux points. L'intersection de ce plan avec X nous donne un second cercle .
Ensuite, l'on sait qu'il n'existe qu'une unique sphère S contenant ces deux cercles. Or si l'on prend un point de S, on peut trouver un plan P contenant ce point qui intersecte en quatre points. Comme il n'y a qu'un seul cercle passant par ces quatre points et appartenant à P, donc il s'agit du cercle de l'intersection de P avec S. On en déduit que .
Finalement, l'inclusion ne peut pas être stricte, sans quoi on pourrait facilement trouver un plan contenant un cercle et un petit autre chose.