Exercice intégrale

[invite537d1a9b]

Bonjour,

J'ai un problème avec un exercice sur les intégrales. Je dois étudier la fonction f(x) = (1/x) * intégrale de 0 à x (1/√(1+t⁴))dt (étudier le domaine de définition, démontrer que la fonction est paire, calculer la dérivée...) Mais je n'arrive pas à calculer l'intégrale. J'ai essayé avec une intégration par partie mais ca ne fonctionne pas. J'ai pensé à faire un changement de variable mais je ne sais pas comment faire puisqu'il y a déjà deux variables (x et t).
Quelqu'un peut-il m'aider s'il vous plait?

Merci d'avance.
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[invite07dd2471]

Salut,

Je m'y suis pas frotté mais vu l'énoncéça m'étonnerais pas que ce soit une intégrale dont on ne sait pas calculer la solution explicite !

[invite537d1a9b]

Merci pour la réponse! Mais est ce possible de calculer la dérivée de f(x) sans avoir calculé la solution de l'intégrale?

[invite07dd2471]

Bien sûr !

Pour une intégrale définie par , on a .

Ici est de la forme donc il suffit d'appliquer la formule de dérivation d'un produit avec la petite remarque ci-dessus !

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite537d1a9b]

Je viens de faire le calcul mais je trouve f'(x)=(1/x²)(xh(x)-intégrale de 0 à x (h(t)dt) alors que je suis supposé démontrer f'(x)=(1/x²)intégrale de 0 à x ((h(x)-h(t))dt). Je ne comprends pas du tout comment je suis supposé trouver intégrale de 0 à x (h(x)dt)
(Avec h(t)=1/√(1+t⁴))

[invite07dd2471]

Il faut voir que car le h(x) ne dépend pas de t donc tu peux le sortir par linéarité de l'intégrale. et .

Donc tu as que tu recombines avec l'autre partie.

[invite537d1a9b]

J'ai enfin compris! Merci beaucoup de m'avoir expliqué!!!

[invite07dd2471]

De rien. Ce truc est classique : on met une fonction ne dépendant que de x dans une intégrale entre 0 et x dt : pour cela, faut pense à rediviser par x. Ca permet notamment de retrouver l'accroissement (h(x)-h(t)) dans l'intégrale, ce qui permet selon les besoins d'appliquer des théorèmes de Rolle, Inégalité des accroissement finis ou de faire un développement de Taylor sur h sous l'intégrale à condition bien sûr que h soir suffisamment régulière.

a+

[invite537d1a9b]

En fait il y a encore quelque chose que je ne comprends pas, toujours à cause des 2 variables. Pour trouver le signe de f'(x) je dois comparer h(x) à h(t). Comment est ce possible??

[invite07dd2471]

Salut,

$t$ varie entre 0 et $x$ donc tu as toujours $t \leqslant x$ donc ...