p-groupe

[Tiky]

Bonsoir,

Je voudrais votre avis sur la démonstration suivante mais tout d'abord voici l'énoncé.
Soit G un groupe d'ordre avec , autrement dit un p-groupe fini. Je dois montrer que pour tous ,
G admet un sous-groupe distingué d'ordre . On me propose de procéder par récurrence sur k en utilisant le fait que
le centre de G est non-trivial.

Je commence par faire l'initialisation. Je sais que est un sous-groupe distingué non-trivial de G. C'est un p-groupe non-trivial et d'après le théorème de Cauchy, il
y a donc un élément d'ordre p dans . Soit le sous-groupe engendré par cet élément. Alors car les éléments de H
commutent avec tous les éléments de G. Donc H est bien un sous-groupe distingué d'ordre p dans G.

Supposons maintenant que nous avons un sous-groupe distingué H d'ordre avec . Je considère alors le groupe G/H qui est d'ordre .
C'est donc un p-groupe non-trivial et d'après l'initialisation, il admet un sous-groupe K distingué d'ordre p. Je note

Alors si je considère la projection canonique de G sur G/H. Je sais que est un sous-groupe de G.
Il est d'ordre et il faut que je montre qu'il est distingué dans G.

Soit et . Je dois montrer que , c'est-à-dire .
Donc . Le fait que K soit distingué permet de conclure.

Merci de votre relecture.
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[Seirios]

Bonjour,

Pour moi il n'y a pas de problème. Par contre, comment justifies-tu que est d'ordre ? Il me semble qu'il y a quelques arguments à avancer, mais peut-être as-tu une jusitification élémentaire ?

Sinon, pour montrer que est bien distingué, tu peux également remarquer que ton initialisation permet de dire que commute avec , donc pour tout , .

[Tiky]

Sauf erreur de ma part, . C'est une union disjointe car les sont disjoints deux à deux,
on a finalement p fois éléments.

[Seirios]

Je ne pensais pas à la même justification, mais elle me va très bien.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Tiky]

Ok, merci pour ton aide.