bloqué dans la démonstration de A compact ssi A fermé borné

[invited8535f28]

salut à tous,
j'essaie de démontrer que un espace est compacte si et seulement si il est borné ( dans R^n)
le problème c'est dans le sens suivant
A compact ==> toute suite de A admet une sous-suite convergente ==> quelque soit (Xn) appartenant à A la suite extraite (Xf(n)) converge vers "X" donc elle est bornée donc A est borné.
je dois savoir si "X" appartient a A pour dire que A est fermé!
en gros, ma question est : dans un espace compact toute sous suite d'une suite converge vers un "X" est ce que ce "X" reste dans A (ie) est ce que les valeurs d'adhérences de A reste dans A, pour dire est ce que A est fermé tout simplement ^^
Merci d'avance
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[invite57a1e779]

quelque soit (Xn) appartenant à A la suite extraite (Xf(n)) converge vers "X" donc elle est bornée donc A est borné.

Ce raisonnement ne me paraît pas vraiment fondé. Comment passe-t-on de la bornitude de la suite extraite à la bornitude de A ?

ma question est : dans un espace compact toute sous suite d'une suite converge vers un "X" est ce que ce "X" reste dans A

Bien sûr ! La valeur d'adhérence appartient à A.
Dans ]0,1[ (muni de la topologie usuelle...), toute suite admet une valeur d'adhérence. Si l'on exigeait pas que la valeur d'adhérence appartienne à ]0,1[, on en déduirait que ]0,1[ est compact !

[inviteaf48d29f]

Pour montrer que compact=>borné je vous conseil de le faire par contraposition. Supposez que votre ensemble n'est pas bornée et montrer qu'il n'est pas compact en exhibant une suite n'admettant pas de sous suite convergente.

[invited8535f28]

@ God's breath
euuuuh oui vous avez raison pour la 1ere remarque, effectivement ce n'est pas équivalent ^^'
pour le 2ème donc un compact est TOUJOURS fermé ?? que me diriez vous dans le cas d'un espace de dimension infinie ?
@ S321
je vais essayer de voir ou ça peut me mener.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Seirios]

pour le 2ème donc un compact est TOUJOURS fermé ?? que me diriez vous dans le cas d'un espace de dimension infinie ?

Dans tout espace topologique séparé, un compact est fermé, donc a fortiori c'est également le cas dans les espaces vectoriels normés (quelque soit leur dimension).