Ker A orthogonal inclus dans Im A

[invitec336fcef]

Bonjour,

je souhaite montrer (sans passer par l'égalité des dimensions), que

j'ai réussi à démontrer l'inclusion

Maintenant, prouvons l'inclusion réciproque.

Je prends un x dans et je veux montrer finalement que

Mais, je n'arrive pas à démarrer.

Quelqu'un pourrait-il m'indiquer le chemin ?

Cordialement.
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[invite332de63a]

Bonjour,
Il doit y avoir quelques condition sur A non?

Par exemple si A est nilpotente d'ordre 2 cela est faux car im A est inclus dans ker A...

[invitec336fcef]

oui bien sûr, A est symétrique définie positive.

[invited5b2473a]

Tu peux poser x = Az + x' où x' est dans l'orthogonal de ImA.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec336fcef]

euh, c'est-à-dire prendre un élément de de la forme x = A z + x' avec Az et x'

Autrement dit, puisque x est un élément de E (il est élément de ), le décomposer comme somme d'éléments de deux sous-espaces supplémentaires de E. Euh... J'ai le droit de faire ça ?

[invitec336fcef]

mais où y est élément de . Mais après ?

[invitec336fcef]

Mais oui !!!! et donc a fortiori x = x',

OK j'ai compris. Merci bien pour toutes vos explications.