Calcul du projete orthogonal d'un point sur une droite dans R^3

[invite2325d0ca]

Bonjour,

J'ai une droite D dans l'espace orthonorme R^3 avec pour equation:
[yi; zi] = [ny; nz] xi + [ya; za]

Je l'utilise avec des matrices:
Y = N xi + A

avec N vecteur directeur de D et A un point de D.

J'ai un point P dans l'espace orthonorme R^3, et je voudrai calculer les coordonnees du point P', projete orthogonal du point P sur D.

P' respecte l'equation de D:
Y' = N x' + A

Le produit scalaire AP' . P'P = 0

Le produit scalaire N . P'P = 0

Je voudrai savoir comment calculer la matrice M de la projection orthogonale de P sur D pour pouvoir calculer les coordonnees du point P'

Merci pour vos pistes et votre aide.
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[invite4793db90]

Bonsoir,

quelques élements de réponse : connaissant les équations de la droite, on peut facilement attacher au point A une base (un vecteur directeur unitaire, un vecteur normal et leur produit vectoriel) de sorte que la matrice de la projection s'écrive dans cette base .

La matrice recherchée s'écrit alors où est la matrice de passage de la base de l'espace euclidien vers (ou l'inverse, je mélange toujours...).

Ceci étant le problème est affine, et il faudra donc veiller à effectuer les translations nécessaires : envoyer préalablement le point A à l'origine, et réciproquement après calcul.

Cordialement.

[invite2325d0ca]

Bonsoir,

quelques élements de réponse : connaissant les équations de la droite, on peut facilement attacher au point A une base (un vecteur directeur unitaire, un vecteur normal et leur produit vectoriel) de sorte que la matrice de la projection s'écrive dans cette base .

La matrice recherchée s'écrit alors où est la matrice de passage de la base de l'espace euclidien vers (ou l'inverse, je mélange toujours...).

Ceci étant le problème est affine, et il faudra donc veiller à effectuer les translations nécessaires : envoyer préalablement le point A à l'origine, et réciproquement après calcul.

Cordialement.

Bonsoir,

Je rencontre quelques problemes pour choisir le vecteur normal de ma base

Je dois choisir le vecteur normal au vecteur directeur de ma droite D, tel que ma projection s'ecrive dans ma nouvelle base

Cela signifie que je dois choisir le vecteur normal au vecteur directeur de ma droite D et parallele au vecteur PP'

Or je ne connais pas les coordonnees de mon point P', car c'est ce que je cherche a calculer.

Ou est mon erreur?

Merci beaucoup

[invite4793db90]

Salut,

étant donné un vecteur de coordonnées (x, y, z), il est très simple de trouver un vecteur (x', y', z') qui lui est orthogonal, la condition s'écrivant xx'+yy'+zz'=0 (annulation du produit scalaire).
Ainsi l'un des vecteurs (-y, x, 0) ou (0, -z, y) fait l'affaire.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite2325d0ca]

Salut,

Je pense que j'ai enfin reussi a faire trouver ma matrice, sauf un petit detail que je ne m'explique pas.

Ma droite D a pour equations:
x = t
y = yn * t + ya
z = zn * t + za

Donc ma base a pour origine:

Et pour vecteur directeur:


La translation OA s'ecrit:


Les trois vecteurs de ma base s'ecrivent:


Cela me donne la matrice de passage p. La matrice de passage c'est tout simplement la matrice des coordonnees de ma nouvelle base exprimee dans la base d'origine.


La matrice de projection s'ecrit comme vous l'avez dit:


Je multiplies la matrices a droite par les coordonnees de mon point F et:

En reverifiant la formule que vous m'aviez donne.

Normalement le point doit verifier les equations de ma droite D et malheuresement elle ne les verifie pas en plus je n'arrive pas a trouver mon erreur

Quelqu'un la voit?

Merci

[invite2325d0ca]

C'est bon,

J'ai trouve l'erreur.

Dans la derniere formule on a:



Merci