Contraposée

[Snowey]

Bonsoir, je travaille sur quelques équivalences simples sur les applications (vraiment la base).
Je dois en l'occurrence montrer que avec f une application de E dans F.
Je raisonne par implications.
Le sens indirect coule de source.
Pour le sens direct, j'ai choisi d'utiliser la contraposée, mais je ne sais pas si c'est un type de raisonnement attendu, ou si la méthode directe est à privilégier. Auriez vous quelques conseils/méthodes pour résoudre efficacement ces exercices (faciles pour l'instant, bien sur ...).

Méthode par la contraposée:

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je suppose f non injective: .
En particulier, , si on considère deux ensembles disjoints et on obtient .
Par négation on obtient l'implication dans le sens direct.
avec l'ensemble vide

Méthode "directe" (tentative):

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soient x,x' dans E tels que
D'après l'hypothèse on a en particulier .
On a alors c'est à dire un singleton.
On a alors nécessairement ce qui donne l'égalité et par là l'injectivité de f...

Merci d'avance,

Snowey
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[Turgon]

Pour ma part je ne vos pas de problème dans ta démonstration. Si il y a une erreur, j'ai du lire trop vite pour la voir, mais ça me paraIt bon. Bonne soirée.

[indian58]

A priori pas d'erreur. Si ce n'est que dans la contraposée, tu dis que puisque f n'est pas injective alors il existe y tel que f({y})^-1 = {x0;x1}. Rigoureusement, ça serait plutôt, il existe y, ainsi que x0 <> x1 tel que {x0;x1} est inclus dans f('y})^-1.

La démonstration "directe" peut sembler plus naturelle et facile à suivre pour le lecteur mais tous les chemins mènent à Rome, dit-on.

[Snowey]

merci bcp ^^

[A voir en vidéo sur Futura]