Produit cartésien et partition.

[taladris]

Bonjour,

si je considère une partition d'un ensemble fini X et une partition d'un ensemble fini Y, alors est une partition de . J'appelle cette partition "partition produit ".

Inversement, partant d'une partition d'un ensemble fini de cardinal fini n=pq, comment savoir si cette partition est isomorphe à une partition produit (i.e. s'il existe deux ensembles X et Y munis d'une partition et (respectivement) et une bijection de sur Z telle que les images des éléments de par cette bijection soit exactement les éléments de ) non triviale (X et Y ne sont pas des singletons)?

Dans le cas très particulier où on sait que Z est un groupe abélien fini et que est l'ensemble des classes à gauche d'un sous-groupe de Z, alors, en utilisant la classification des groupes abéliens, on obtient que est une partition produit.

Dans le cas général, aucune idée. Merci d'avance.

Cordialement
-----

[indian58]

1) Ce qui me chiffonne avec ta question est que tu veux des isomorphisme entre des ensembles, a priori non structurés.


2) Tu ne veux ni X, ni Y comme singleton. Alors si Card(Z) est un nombre premier, tu va être embêté...

3) Si Card(Z) n'est pas premier, note Z={z_1,...,z_pq}, X ={x1,...,xp}={z_1,...,z_p} et Y = {y1,...,yq}={z_{p+1},...,z_{q-p}}, alors considère f(xi,yj) = z_{i*j}.

[taladris]

Je te remercie pour tes commentaires.

1) Ce qui me chiffonne avec ta question est que tu veux des isomorphisme entre des ensembles, a priori non structurés.

J'ai défini ce que j'entendais pas isomorphisme entre parenthèses. Et en fait, j'ai (implicitement) défini la structure "ensemble partitionné (fini)": c'est un couple où X est un ensemble et une partition de . Et les morphismes de cette structure sont les applications tel que l'image de tout élément de est un élément de .

2) Tu ne veux ni X, ni Y comme singleton. Alors si Card(Z) est un nombre premier, tu va être embêté...

Card(Z)=pq, donc n'est pas premier. Je suppose p et q différents de 1, désolé d'avoir oublié de le préciser. De plus, je ne suppose pas que p et q soient premiers, mais si cela simplifie les choses, pourquoi pas!

3) Si Card(Z) n'est pas premier, note Z={z_1,...,z_pq}, X ={x1,...,xp}={z_1,...,z_p} et Y = {y1,...,yq}={z_{p+1},...,z_{q-p}}, alors considère f(xi,yj) = z_{i*j}.

Ton application est mal définie. Par exemple, p+1 peut être strictement plus grand que p-q. Je pense que tu voulais écrire f(i,j)=z_{i*j} où f est définie sur le produit . Mais la difficulté n'est pas de trouver une bijection entre Z et un produit cartésien de deux ensembles X et Y mais de définir des partitions (si c'est possible) sur ces ensembles qui soient préservées par la bijection.

[indian58]

Non, ma fonction est bien définie.
Je me répète mais je ne comprends pas trop ta définition d'isomorphisme. Elle ressemble plus à celle d'une bijection.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

Bonjour,

Je me répète mais je ne comprends pas trop ta définition d'isomorphisme. Elle ressemble plus à celle d'une bijection.

Ce qui tombe bien, puisqu'un isomorphisme entre ensembles sans structures, est justement une bijection.

[taladris]

Non, ma fonction est bien définie.

note Z={z_1,...,z_pq}, X ={x1,...,xp}={z_1,...,z_p} et Y = {y1,...,yq}={z_{p+1},...,z_{q-p}}, alors considère f(xi,yj) = z_{i*j}.

Désolé, mais à moins que je ne comprenne mal ce que tu écris, ta fonction est mal définie. Par exemple, si p=2 et q=3, alors p+1=3 et q-p=1, comment définis-tu l'ensemble Y dans ce contexte? A la rigueur, ce n'est pas grave, on peut imaginer qu'on prend les éléments par ordre décroissant des indices. Plus grave, Y a (q-p)-(p+1)+1=q-2p éléments, donc a p(q-2p) éléments. Donc f n'est pas en général une bijection.

Je me répète mais je ne comprends pas trop ta définition d'isomorphisme. Elle ressemble plus à celle d'une bijection.

Un isomorphisme est une application qui préserve une certaine structure. La structure ici est celle d'ensemble partitionné fini. Considérons par exemple les ensembles partitionnés finis et . Ce sont, en un sens, les mêmes ensembles partionnés finis. Pour donner un sens rigoureux à "mêmes", il faut définir les morphismes de cette structure. On peut choisir un peu n'importe quoi mais si on veut travailler avec cette nouvelle structure, il faut faire un choix cohérent. Le plus cohérent à mon sens est de définir un tel morphisme comme étant une application telle .