Produit cartésien et ZF

[Amanuensis]

Bonjour,

Un papier de Fraenkel que je vient de lire semble pouvoir s'interpréter comme disant qu'on peut définir avec seulement les axiomes ZF, un produit cartésien de tous les éléments d'un ensemble, à la condition que cet ensemble ne soit composé que d'éléments disjoints ; soit D(x) cette condition, abréviation de


En notant ce produit cartésien, l'axiome du choix s'exprimerait alors comme



Question A : comment montrer avec ZF que l'on peut parler du produit cartésien dans ce cas?

(Si je comprends le texte de Fraenkel, il s'agirait du sous-ensemble de U(x) (union des éléments de x) ayant une intersection de cardinal 1 avec chaque élément de x ; ZF suffit-il pour tous ces concepts ?)

Question B : Peut-on, et sinon pourquoi non, parler du produit cartésien dans tous les cas (i.e., même si D(x) non vérifié) avec seulement ZF ? (je parle de l'existence dudit produit, pas s'il est vide ou non vide)

(Je pense que la réponse à B est non, la seule méthode que je trouve consiste à indexer les éléments de x par un ordinal, et cela demande l'axiome du choix.)

Merci d 'avance,
-----

[Médiat]

Bonjour,

Pour le point A : pas de problème cela s'exprime bien avec ZF seul :


Sachant que |x| = 1 s'exprime très bien sans avoir à introduire la notion de Cardinal, seuls l'axiome de l'union et celui de séparation sont utilisés.


Pour le point B, je n'ai pas de réponse toute prête, ni le temps de chercher dans l'immédiat, par contre il est clair qu'un problème se pose avec des ensembles non disjoints pour différencier (1, 2, a, b, c ...) et (2, 1, a, b, c ...) par exemple.

[Médiat]

Pour le point B, je n'ai pas fait de démonstration formelle, mais il me semble qu'en remplaçant tous les éléments de par , on obtient un ensemble (à démontrer) dont tous les éléments sont disjoints.

[Amanuensis]

annulé.....

[A voir en vidéo sur Futura]

[Amanuensis]

Me rappelle plus ce qu'est y x z ? Même chose que {{y,0},{z,1}} ?

[Médiat]

Je ne suis pas sur de bien comprendre la question, je réponds sur ce que j'ai compris :

[Amanuensis]

Je ne suis pas sur de bien comprendre la question, je réponds sur ce que j'ai compris :

C'était juste la forme {u, {u,v}} que je ne retrouvais plus.

L'idée du message quelque crans plus tôt se réécrit donc comme remplacer tous les éléments y de x par {y, {y,{y}}}, c'est bien ça ?

Mais alors ils ne seraient pas disjoints s'il existe y tel que y et {y,{y}} sont tous deux dans x, non ?

[Médiat]

L'idée du message quelque crans plus tôt se réécrit donc comme remplacer tous les éléments y de x par {y, {y,{y}}}, c'est bien ça ?

Pas tout à fait, on remplace par , c'est à dire que si z est un élément de y, alors est un élément de

[Amanuensis]

Nettement plus utile pour le propos !

[il me semble qu'en remplaçant tous les éléments de par , on obtient un ensemble (à démontrer) dont tous les éléments sont disjoints.

Qu'y a-t-il à "démontrer" ? Qu'on puisse construire un tel ensemble ? L'axiome de remplacement en utilisant la fonction y --> y x {y} ne suffit pas ?

[Médiat]

Qu'y a-t-il à "démontrer" ? Qu'on puisse construire un tel ensemble ?

Oui, c'est exactement ça.

L'axiome de remplacement en utilisant la fonction y --> y x {y} ne suffit pas ?

C'est la bonne démarche, mais il faut le faire, montrer que c'est bien une fonction (est-ce que l'axiome de fondation est nécessaire ou non ?)

Je ne dis pas que c'est compliqué, juste qu'il faut le faire et qu'il faut toujours être très attentif et très rigoureux pour faire des démonstrations dans ZF.