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Fonction équivalente



  1. #1
    N-physpanish

    Fonction équivalente


    ------

    Bonsoir, je bloque sur certains points de l'exercice suivant:

    Utiliser des fonctions équivalentes pour calculer les limites des fonctions suivantes:

    f(x)=x²ln(1+1/x) lorsque x tend vers + infini
    f(x)=tanxtan2x quand x tend vers pi/2, ici hormis l'utilisation de sinx/cosx je vois rien d'autre mais ca marche pas

    -----

  2. Publicité
  3. #2
    First-in

    Re : Fonction équivalente

    salut,

    tu sais que ln(1+1/x) est équivalent à 1/x lorsque x tend vers +infini : en effet ln(1+u)/u tend vers vers lorsque u tend vers 0 (c'est le taux d'accroissement, donc la dérivée de u -> ln(1+u) en 0)

    Pour le deuxième, tu pourrais poser x = Pi/2 - u, et faire tendre u vers 0. Tu utilises ainsi le fait que cos(Pi/2 -u)=sin(u) et sin(Pi/2 -u)=cos(u), pusi tu conclues en disant que sin(x) est équivalent à x lorsque x tend vers 0 (même histoire qu'avant avec le taux d'accroissement), et que cos(x) est équivalent à 1-(x^2)/2.

    Bonne soirée !

  4. #3
    cleanmen

    Re : Fonction équivalente

    salut,
    si tu connais l'équivalent de ln(1+x) en 0 alors tu connais celui de ln(1+1/x) en infini

  5. #4
    S321

    Re : Fonction équivalente

    Bonjour,

    Comme on vous le demande, il faut utiliser la notion de fonctions équivalentes et vous devez tentez de vous ramener à une forme du cours.

    Donnez un équivalent de ln(1+u) lorsque u tend vers 0. Qu'en déduisez quand à l'équivalence de ln(1+1/x) lorsque x tend vers l'infini ? Puis pour x²ln(1+1/x) ?

    Pour la deuxième il vous faut faire un changement de variable pour avoir une variable qui tends vers 0 (pour se rapprocher d'une forme vu dans le cours. Posez donc x=u+pi/2 comme ça lorsque x tends vers pi/2 vous avez u qui tend vers 0. Ensuite vous vous ramenez à une expression simple à l'aide des formules de trigo que vous connaissez depuis la plus tendre enfance (et on peut garder des tangentes).
    Wir müssen wissen, wir werden wissen.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    N-physpanish

    Re : Fonction équivalente

    Pour la première je sais que ln(1+x)/x en 0 tend vers 1, en +inf j'aurais tendance à dire que ce sera 0 mais comment le deduire à partir de la limite en 0 ?

  8. #6
    S321

    Re : Fonction équivalente

    Ce qui vous intéresse ce n'est pas la limite de ln(1+x)/x lorsque x tends vers l'infini mais la limite de xln(1+1/x).

    Vous savez que ln(1+u)/u tends vers 1 lorsque u tend vers 0, faites le changement de variable u=1/x...
    Wir müssen wissen, wir werden wissen.

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  10. #7
    N-physpanish

    Re : Fonction équivalente

    En faisant ce changement de variable on a: xln(1+1/x) soit en plus infini 0 et donc peut on conclure que x²ln(1+1/x) tend vers 0 aussi ?

  11. #8
    S321

    Re : Fonction équivalente

    Non.

    Ecrivez chacune des étapes de votre démonstration.
    ln(1+u)/u tend vers 1 lorsque u tend vers 0. Comment en déduisez vous que xln(1+1/x) tend vers 0 quand x tends vers l'infini ?

    peut on conclure que x²ln(1+1/x) tend vers 0 aussi ?
    x tendant vers l'infini ? Pouvez vous dire sans plus de justification que le produit de quelque chose qui tend vers l'infini avec quelque chose qui tend vers 0 va tendre vers 0 ?
    C'est une forme indéterminée. Enfin du moins ça en serait une si la première étape de votre raisonnement était juste, heureusement ce n'est pas le cas.
    Wir müssen wissen, wir werden wissen.

  12. #9
    N-physpanish

    Re : Fonction équivalente

    Ah oui pardon l'équivalent de ln(1+1/x) en l'infini c'est 1/x donc la limite ensuite ce sera 1 pour ma fonction

  13. #10
    N-physpanish

    Re : Fonction équivalente

    En revanche pour le second je ne vois pas à quoi sert le fait de poser ca, il ne vaudrait pas mieux de poser X=x+pi/2 à moins que ca soit pareil

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