Bonjour,
j'ai un petit probleme avec un exercice
ce qu me paraissait le plus simple je n' arrive pas , voici la question :
"""soit f:[0,1]-->[0,1] une application croissante de A={x €[0,1] | x <=(lire "inferieur ou egal à")f(x)}
a est la borne sup de A
a € [0,1]
f(a) majorant de A """
-->Montrer que a € A ???
Un grand classique.
Tu peux par exemple supposer que a n'appartient pas à A, donc f(a)<a et utiliser le fait que a est la borne sup de A ...
Un grand classique en effet.
Il est d'ailleurs sorti il n'y a pas si longtemps que ça sur ce forum
A ne surtout pas confondre avec le fait qu'un fonction CONTINUE de [0,1] dans lui-même admet nécessairement un point fixe. Ici la fonction est juste croissante.
coucou,
c'est le sujet de mon DM... alors ça m'intéresse pour comparer
Il y a deux théorèmes :
-Toute fonction continue de [0,1] dans lui-même a un point fixe.
-Toute fonction croissante de [0,1] dans lui-même a un point fixe.
Ici on fait le deuxième (apparement). les preuves pour les deux ne sont pas du tout les mêmes. Le premier est plus simple.
Le premier se généralise aussi sur la boule unité de R^n et même d'un espace de dimension infinie! Mais c'est plus compliqué.
Mais tu peux participer, tu n'es pas obligé de te contenter de comparer ...Envoyé par chouket
coucou,
c'est le sujet de mon DM... alors ça m'intéresse pour comparer
coucou,
je ne sais pas si ça intéresse encore qq'un... mais tant pis!Mais tu peux participer, tu n'es pas obligé de te contenter de comparer ...
on a :
a borne sup de A
a majorant de A (le plus petit mm)
donc qqsoit x€A, a=<x
d'où: f(a)=<f(x) (application croissante)
or on a f(x)>=x
par transitivité de la relation >= dans [0;1] (je sais pas trop si ça se dit comme ça...)
f(a)>=f(x) qqsoit x€A
f(a) est donc un majorant de A d'où a=<f(a)
or a€[0;1]
donc a€A
voilà ce qu'il y a textuellement sur ma copie..
bonne soirée
plutôt x <= a donc f(x) <= f(a), mais j'imagine que c'est uniquement en postant que tu as fait l'étourderie.
la transitivité, ça se dit pas de problème, mais si tu dis directement:or on a f(x)>=x
par transitivité de la relation >= dans [0;1] (je sais pas trop si ça se dit comme ça...
f(a)>=f(x) qqsoit x€A
x <= f(x) <= f(a) on comprend aussi bien
et l'important c'est d'avoir x <= f(a) pas f(x) <= f(a) pour conclure que f(a) est un majorant de A.
Ensuite en rappelant à point nommé que a est le plus petit des majorants, la conclusion est immédiate.
merci beaucoup
(j'ai un peu de mal avec les ">" et "<" sur le pc... mais rien de bien méchant si on se dit que "<" c'est l'autre ">" et inversement
