Maxima secondaires sinus cardinal.

[invite7ebcb46b]

Bonjour,

Je bosse actuellement sur un problème de maths, et je bloque un peu. Peut être pourriez vous me donner quelques clés pour me débloquer?
Je suis sur un problème de pendule de Holweck lejay, j'ai pu établir l'équation différentielle du mouvement, et je suis à la recherche du nombre de point d'équilibre en fonction d'une variable k.
Pour cela, je suis arrivé à une équation qui est la suivante:

sin(x) = kx

et je cherche en fonction de valeurs de k, les solutions de cette équation.

Pour cela, je vois deux solutions : soit transformer mon équation sous la forme sinc(x) = k . Dans ce cas là, si k>1, je n'ai pas de points d'équilibre; si k est compris entre 1 et la valeur du premier maxima secondaire exclue, j'ai un point d'équilibre et on peut continuer comme ça. Donc pour cette méthode, il me faut la valeur des différents maximaux secondaires du sinus cardinal. Je sais qu'en physique dans le cadre d'étude de diffraction, on utilisais la demi largeur. Toutefois je ne peux faire cette approximation là dans mon cas.
J'ai donc pensé à dériver mon sinc, pour voir quand la dérivée du sinc est nulle, et par conséquent m'indique un maxima. J'obtiens en dérivée : (xcos(x)-sin(x)) / x². Mais à partir de là, je suis bloqué et n'arrive pas à me sortir de cette méthode.


L'autre solution à laquelle j'ai pensé à la tangente: En m'aidant d'un schéma, je trace la courbe kx, et la courbe sin(x). A partir de là, je sais qu'il est possible de trouver la tangente à la courbe sin en un point à l'aide de sa dérivée. Mais je vois pas trop comment me lancer dans ce cas là.

Pouvez vous me conseiller?
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[phys4]

Bonjour,

Votre équation de la dérivée vous donne comme extremum tous les points tels que
tg(x) = x

Après avoir résolu ces extremums vous trouverez facilement les valeurs extrêmes successives.
Vous pourriez aussi utiliser directement le graphique de sinc(x) et résoudre graphiquement votre problème, si vous voulez une valeur exacte analytique, ce n'est pas possible car vous avez toujours une équation transcendante.

[breukin]

Notez qu'on peut trouver une formule asymptotique pour les grandes solutions de l'équation en constatant qu'elle se rapprochent par valeurs inférieures des asymptotes verticales d'abcisse .
Donc en posant on obtient .
Au premier ordre, on a donc .