Topologie

[math123]

Bonsoir,

Voila, en regardant la correction d'un exercice il y a un truc trivial pour celui qui a fait la correction qui ne l'ai pas pour moi pour la raison qu'à aucun moment mon cours n'en parle c'est pourquoi je me tourne vers vous :

On considère E, F 2 espaces vectoriels normés et

On me demande de prouver ceci : (A B)°=A° B°

La correction dit à un moment pour montrer le sens => Il existe un ouvert W de ExF tq (x,y) € W inclus dans AxB. Jusque la je suis d'accord mais c'est après ou vient le problème, il est dit : Par définition des ouverts de ExF il existe alors un ouvert U de E et un ouvert V de F tel que x € U, y € V et UxV est inclus dans W alors la je ne comprend pas le "par définition" ? Si quelqu'un pourrait m'éclairer.


Après la réciproque est aussi incompréhensible pour ma part, on commence par dire qu'il existe un ouvert U de E tel que x€U inclus dans A et un ouvert V de F tel que y€V inclus dans B. Alors UxV est un ouvert ? Pourquoi ?

En fait dans mon cours mon prof ne parle pas de produit cartésien pour les ouverts .

Et j'aurai une dernière question qu'en est-il pour les fermés ?

Un grand merci.
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[invite2e5fadca]

La question que tu dois te poser est

Quelle sont les ouverts de E x F ? En effet tu connais les ouverts de E et de F, mais il n'y a pas d'ouvert dans E x F. Par définition, on munit E x F de la topologie produit :

Les ouverts de E x F sont les réunions quelconques de produit d'ouvert de E et de F. En particulier, si U est ouvert dans E et V est ouvert dans F, alors U x V est ouvert dans E x F.


Voici un article détaillée sur la topologie produit.
http://fr.wikipedia.org/wiki/Topologie_produit

Je pense qu'avec ceci tu devrais comprendre la solution de ton exercice. Sinon n'hésite pas à poser d'autres questions.

[math123]

Merci de ta réponse,
J'ai compris que si on a U un ouvert de E et V un ouvert de F alors UxV est un ouvert de ExF, mais pour l'implication j'ai beaucoup de mal à comprendre le par définition.

Pour répondre à ta question les ouverts de ExF sont pour moi ExF est l'ensemble vide non ?

[invite2e5fadca]

Non justement, c'est là le point délicat. Il n'y a pas d'ouvert à la base dans E x F. Il faut donc donner une définition pour les ouverts de E x F qui est la suivante :

Par définition, on pose que O est un ouvert de E x F si

où U_i ouvert de E et V_i ouvert de V.

[A voir en vidéo sur Futura]

[math123]

D'accord, ok merci de ta réponse je vais essayer de comprendre et je te dis si je comprend pas

[math123]

Re, voila j'aurai une dernière question qu'en est il pour les fermés ? Sa "fonctionne" de la même façon ?
Merci

[invite11916bb0]

les fermés sont les complémentaires des ouverts, et le complémentaire d'un produit cartésien est le produit cartésien des complémentaires, donc oui, ça fonctionne pareil !

[Seirios]

le complémentaire d'un produit cartésien est le produit cartésien des complémentaires

Attention, cette affirmation est fausse.