La suite de nombres de Fibonnaci.

[philname]

Bonjour,

On connait tous la suite de nombre de Fibonacci dont le rapport entre deux nombres qui se suivent tant vers le nombre d'or.
1 1
2 2
3 1,5
5 1,666666667
8 1,6
13 1,625
21 1,615384615
34 1,619047619
55 1,617647059
89 1,618181818
144 1,617977528
233 1,618055556
377 1,618025751
610 1,618037135
987 1,618032787
1597 1,618034448
2584 1,618033813

etc


Mais la convergence vers le nombre d'or peut être réalisé des autres nombres, tous les cas peuvent tendre vers le nombre d'or ex :je démarre avec 7 et 3 :
7
3 0,428571429
10 3,333333333
13 1,3
23 1,769230769
36 1,565217391
59 1,638888889
95 1,610169492
154 1,621052632
249 1,616883117
403 1,618473896
652 1,617866005
1055 1,61809816
1707 1,618009479
2762 1,618043351


Alors les nombres de Fibonacci une infinité de suite de nombre ? Pourquoi dans les livres parle-t-on que d'une suite ? Serait-ce la première basique ?
-----

[invite8b1fe065]

1
1 2
1 2 3
1 2 3 5
1 2 3 5 8
1 2 3 5 8 12
ça c'est la suite de fibonacci ou bien un exemple de suite de fibonacci


Merci, c'est intéressant

[invite4d47ddba]

un truc du genre

[Amanuensis]

Alors les nombres de Fibonacci une infinité de suite de nombre ? Pourquoi dans les livres parle-t-on que d'une suite ? Serait-ce la première basique ?

On peut aussi bien appeler "séquence de Fibonacci" LA séquence originelle (celle commençant par 0 1), ou n'importe quelle séquence vérifiant u_n+2 = u_n+1 + u_n.

C'est juste une question de convention de terminologie.

Les suites vérifiant cette récurrence forment un espace vectoriel de dimension 2, elles sont toutes des combinaisons linéaires de deux d'entre elles bien choisies (comme par exemple celle commençant par 0 1 et celle commençant par 1 0, la seconde étant la décalée de la première (1)). Du coup, elles partagent beaucoup de propriétés, et en étudier une forme le plus gros du travail pour les étudier toutes !

(1) Par exemple celle démarrant par 7 et 3 est 7 x (1, 0) + 3 x (0, 1), en notant (m, n) la suite démarrant par m et n. Soit 3 fois la séquence "classique" plus sept fois sa décalée d'un cran.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4d47ddba]

elles sont toutes des combinaisons linéaires de deux d'entre elles bien choisies

je répond parce que cela ressemble aux périodes d'entrainement des RNA.

100000/1,61803399=61 803,3988
38196,601065989
23606,797695263
14589,803329943
9016,994340114
5572,808974251
3444,185356236
2128,623612064
1315,561740495
813,061869297
502,499869794
310,561998635
191,937870622
118,624127681
73,313742736
45,310384818
28,003357839
17,307026931
10,696330879
6,610696033
4,085634835
2,525061191

la question est peut pourquoi cela ne marche pas pour cette suite.

[shokin]

Je viens de déplacer ce fil de la section Épistémologie et Logique à la section Mathématiques du supérieur.

[Amanuensis]

38196,601065989
23606,797695263

-> rapport entre les deux 1,618

Ça marche très bien...

[invite4d47ddba]

oui mais ce sont des entiers relatifs, et non des entiers pures.
pourquoi certains nombres, celon cette suite, sont des entiers relatifs et quel est l'importance de 1,618?

merci pour le "Par exemple celle démarrant par 7 et 3 est 7 x (1, 0) + 3 x (0, 1), en notant (m, n) la suite démarrant par m et n. Soit 3 fois la séquence "classique" plus sept fois sa décalée d'un cran."

[Amanuensis]

quel est l'importance de 1,618?

La suite démarrant par 1 et 1,618034... a une propriété particulière...

[mh34]

La suite démarrant par 1 et 1,618034... a une propriété particulière...

Bon, quitte à ne rien comprendre à la réponse ( mais la curiosité est trop forte )...quelle propriété?

[Amanuensis]

Philname, message #1, fait la remarque que le rapport de deux termes successifs de la suite de Fibonacci tend vers 1,618... (le nombre d'or, phi).

Mais si on fait la suite en partant de 1 et phi

1
1,618034
2,618034
4,236068
6,855410

alors le rapport de deux termes successifs est toujours égal à phi. C'est une suite géométrique.

[Médiat]

Bonjour,

la question est peut pourquoi cela ne marche pas pour cette suite.

D'abord une remarque, quand on parle de la suite de Fibonacci, on parle bien de celle commençant par (0, 1) (ou (1, 1)), sinon on parle d'une suite de Fibonacci, et dans ce cas, il vaut mieux préciser une suite de Fibonacci généralisée.

Toutes les suites de Fibonacci généralisées possèdent la propriété que le rapport de deux éléments successifs tend vers (le nombre d'or), à une^(*) exception près (démonstration triviale à partir de l'expression fonctionnelle de ces suites), la suite commençant par (à noter que wikipedia ne signale pas cette exception, l'article est donc faux sur ce point).

J'ajoute que les suites définies par et forment une base particulièrement intéressante de l'espace vectoriel des suites de Fibonacci généralisées.

^(*) Il va de soi que toute suite commençant par des nombres de la forme possède la même propriété et la même limite ; pour être complet il y a aussi la suite nulle, mais celle-là n'est pas passionnante.

[invite4d47ddba]

Philname, message #1, fait la remarque que le rapport de deux termes successifs de la suite de Fibonacci tend vers 1,618... (le nombre d'or, phi).

Mais si on fait la suite en partant de 1 et phi

1
1,618034
2,618034
4,236068
6,855410

alors le rapport de deux termes successifs est toujours égal à phi. C'est une suite géométrique.

voila c'est ce que je n'avais compris.
phi s'applique sur phi avec la suite de Fibonacci.
c'est une suite géométrique euclidienne.

[mh34]

....le rapport de deux termes successifs est toujours égal à phi. C'est une suite géométrique.

Merci beaucoup.