topologie

[369]

bonjour,

dans un exercice on me demande de montrer que l'ensemble Z n'est pas ouvert

dans la correction: Z n'est pas voisinage de 0 car quel que soit si n est un entier on a dans

Pourquoi fait-on ca

si n est un entier on a dans

et pourquoi prend-t-on ?



merci de votre aide
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[Snowey]

Pour montrer qu'il n'est pas ouvert, la correction propose de montrer qu'il n'est pas voisinage de chacun de ses points, et de 0 en particulier (issu immédiatement de la définition d'un ouvert, ici de je suppose).
On veut donc montrer que quel que soit le voisinage de 0 que l'on choisit - ici donné par l'intervalle - ce voisinage contient toujours un point qui n'est pas de l'ensemble . Autrement dit, on veut montrer que pour tout voisinage, n'est pas l'ensemble vide.
Le choix de n n'a pas beaucoup d'importance en fait: il suffit juste de montrer qu'il existe un réel non entier dans le voisinage (et il y en a pas mal ^^).

Implicitement, ton voisinage est un voisinage donc .
Quoi qu'il en soit, si cet epsilon est inférieur à 1 et que l'on prend n=1, celà ne marche pas (epsilon est en effet exclu du voisinage) ...
En travaillant sur un voisinage naturel (donc de longueur inférieure à 1, si on veut être suffisamment proche de 0), il suffit de considérer n>1, et on a bien , et

[369]

d'accord merci

[Seirios]

Bonjour,

Le raisonnement montre plus généralement que Z est un ensemble discret.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Snowey]

C'est à dire que chacun de ses point est isolé ?

[Seirios]

Isolé dans Z ou dans IR ? On dit qu'un espace topologique est discret s'il est muni de la topologie discrète (ie. toute partie est un ouvert). De manière équivalente, un espace topologique est discret si tout point y est isolé.