Simple Question sur l'invertibilité de matrices.

inviteb146ac72 · 26/12/2011, 12h24

Voici l'énonce.
Soient $\text{[math]}$ deux matrices carrées d'ordre n (coefficients dans les réels).
Montrez que si $\text{[math]}$ , alors n est un nombre pair.
Réponse:
Avec les déterminants la réponse est immédiate:
$\text{[math]}$ ssi n pair car $\text{[math]}$ différent de nul, $\text{[math]}$ différent de nul.

MAIS je ne comprends pas ce qui est faut dans le raisonnement suivant:
$\text{[math]}$ (1) alors par réarrangement et l'utilisant le fait que l'inverse de A et B existent on obtient:
$\text{[math]}$ et en utilisant (1) $\text{[math]}$ . Ceci est toujours vrai (pour tout entier plus grand que 0), non?

**Tiky** · 26/12/2011, 13h44

Bonjour,

Tout ce que tu as dit me semble vrai. Je ne vois pas ce qui te bloque.
En sachant que A et B est inversible. Tu as bien AB inversible et par définition :
$\text{[math]}$

Donc $\text{[math]}$ . C'est parfaitement correct...

inviteb146ac72 · 26/12/2011, 13h56

Mais on ne trouve pas de condition sur n dans le deuxième cas. Or manifestement on voit que n doit être pair en
utilisant le déterminant?

inviteb146ac72 · 26/12/2011, 13h59

Pardon pas le deuxième cas, mais la 2e ''démonstration''

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**Tiky** · 26/12/2011, 14h34

Et alors ? tu ne trouves pas de condition, cela ne signifie pas que c'est vrai pour tout n.

invited7e4cd6b · 26/12/2011, 14h45

Bien le bonjour a vous,

Pourquoi a-t-on $\text{[math]}$ non nul? Ca me semble louche.

inviteb146ac72 · 26/12/2011, 14h51

detA n'est pas nul car A est supposé invertible.

Ce que je trouve bizarre c'est qu'on peut retourner ces arguments et on a alors un si et seulement si,
alors le truc marcherait aussi sur les matrices d'ordre impair?

**Médiat** · 26/12/2011, 14h53

D'autant plus que si A = la matrice nulle d'ordre n, on a bien AB + BA = 0 quelque soit B et quelque soit n.

inviteb146ac72 · 26/12/2011, 14h53

Ah non, sorry on ne peut bien sûre pas renverser les arguments, donc pas de ssi.

**Médiat** · 26/12/2011, 14h54

Envoyé par siRNA

detA n'est pas nul car A est supposé invertible.

C'est où dans l"énoncé ?

inviteb146ac72 · 26/12/2011, 14h56

La matrice O n'est pas inversible...
Par contre Tiky je suis d'acord avec toi, merci! J'ai compris

invited7e4cd6b · 26/12/2011, 14h57

Tu n'as pas énoncé clairement ta question.
Montrer que si A,B sont des matrices inversibles d'ordre n et que AB+BA=0 alors on a: n pair.
Le sens directe est clair car on retrouve la puissance (-1)^n.
Le deuxième sens n'est en aucun cas possible. On pourrait avoir n pair, et AB+BA non nul.

inviteb146ac72 · 26/12/2011, 14h59

Pardon, j'avais oublié de mettre dans l'énoncé que A et B sont supposées être invertibles.

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