Bonjour
En effet, on a t(n)=sum(1/(n²+k),k=1..2n) et t(n)=a/n+b/n²+°(1/n²)
J'ai trouvé que ce résultat est vrai pour a réel quelconque et b=((2-a)n²-2n-1)/n.
Cependant, l'égalité t(n+1)=a/n+c/n²+°(1/n²) avec a réel quelconque et c=b-a n'est pas vérifiée.
Comment expliquer celà ??
Comment obtenir la valeur de c et en déduire un équivalent de t(n+1)-t(n) ???
Merci d'avance à tous pour vos réponses.
j'ai également trouvé les équivalences suivantes:
1/(n+1) = 1/n-1/n²+°(1/n²)
1/(n+1)²= 1/n²+°(1/n²)
merci d'avance de votre aide
Bonjour,
Tu ne peux pas avoir cette égalité pour a quelconque car a est la limite de n*t(n) qui est donc unique.
En revanche pour déterminer ce développement asymptotique, on peut utiliser des comparaisons séries intégrales successives comme
expliqué sur cette page http://fr.wikipedia.org/wiki/Compara...int%C3%A9grale
Sauf erreur, tu dois trouver
merci de votre réponse mais je ne connais pas les séries intégrales (on ne les a pas vu en cours donc je pense que l'on ne peut pas les utiliser). Connaissez vous une autre méthode plus accessible ?
cependant, une question me vient:
comment expliquer que t(n) peut s'écrire sous la forme a/n+b/n²+°(1/n²) ???
Justement la méthode que je te propose permet de prouver que la fonction s'écrit ainsi. Quel est ton énoncé exact ? Si l'énoncé te dit que cette forme existe,
il doit y avoir plus simple.
l'énoncé dit "en déduire qu'il existe des réel a et b, que l'on précisera, tels que: t(n)=a/n+b/n²+°(1/n²)
pourriez vous détailler votre raisonement s'il vous plait ?
En déduire de quoi justement ? Quelle est la question précédente et ce que vous avez trouvé.
oui, tout de suite:
question précédente:
pour entier naturel non nul, on défini:
alpha(n) = (1/n^6)*sum(k²/(1+k/n²),k=1..2n)
Montrer que alpha(n) = °(1/n²) (qui signifie que alpha(n) est négligeable devant 1/n² en +infinity)
le résultat de la question précédente est donc : alpha(n) = °(1/n²)
J'attends votre réponse.
A tout de suite
Je ne vois pas le lien. Est-ce bien cette formule :
Le carré sur le k est particulièrement gênant.
Une solution assez laide est de vérifier que le développement asymptotique est celui que je t'ai donné. Il suffit de montrer que :
Je n'ai pas trouvé de solution sans utiliser la comparaison série-intégrale.
c'est bien celà.
je suis d'accord avec vous pour votre dernier résultat mais comme vous le dites vous même, d'où viens le -2/n² ???
je vois bien l'idée
j'ai réussit à montrer que t(n)=2/n+°(1/n)
Montrons que t(n)=2/n+b/n²+°(1/n²) où b=-2
Cependant, comment faire ???
Par contre, j'ai du mal à voir le reste.
Je t'expliquerai demain comment utiliser la comparaison série-intégrale. Ce n'est pas compliqué et très pratique.
Bonjour,
Voici la méthode que j'ai utilisé. J'ai réussi à la simplifier un peu.
Je pose
L'idée principale est de remarquer que la fonction
continue et monotone (ici décroissante). Il est alors facile de minorer et majorer l'intégrale suivante à l'aide de la fonction
On a donc aussi :
On en déduit en sommant que :
Or une primitive de
Donc
De même
On en déduit que
Pour l'ordre suivant, on pose
Je te laisse vérifier que l'application
On a donc
D'où
De plus petite astuce,
Donc
On procède de même pour l'intégrale à droite de l'inégalité. On trouve aussi que la limite est 2.
D'où
On a bien
oulà merci beaucoup de cette réponse très détaillée.
C'est très gentil de votre part. Je vais l'imprimer et essayer de comprendre ce chapitre.
Cependant, pour mon devoir, je doute que je puisse l'employer.
Ainsi, savez vous comment calculer la limite suivante:
n²(t(n)-2/n) quand n tend vers +infinity (normalement, c'est -2)
t(n)=sum(1/(n²+k),k=1..2n)
J'ai bien sur essayé depuis hier mais je n'arrive pas car t(n) tend vers 0 ...
A tout de suite.
