Deux plans pas ordinaires.

[inviteda3529a9]

Bonjour à tous

Voici mon problème:

Soit P le plan d'équation ax+by+cz+d=0
Soit P' le plan d'équation a'x+b'y+c'z+d'=0
On suppose P et P' non parallèles.
Soit T l'ensemble des points de l'espace qui sont équidistants de P et P'.
Montrer que T est la réunion de deux plans et dont les vecteurs normaux sont orthogonaux.

J'ai trouvé:
abs(ax+by+cz+d)/sqrt(a²+b²+c²) = abs(a'x+b'y+c'z+d')/sqrt(a'²+b'²+c'²)
Cependant, avec ce là, je ne trouve pas comment répondre à la question.

Et d'ailleurs, j'ai une petite question, que doit on trouver si P et P' sont parrallèles( quelque chose de bizard j'imagine puisque l'énoncé nous dit d'emblé que P et P' ne sont pas parallèles)

Merci d'avance de votre aide et bonnes fêtes de fin d'année.

A tout de suite.
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[invitea3eb043e]

Faut y aller doucement et, d'abord, se simplifier la vie, par exemple en supposant que a²+b²+c²=1 (pourquoi pas, tu peux diviser l'équation par ce que tu veux)
Ensuite, si tu as 2 nombres réels A et B tels que |A| = |B|, que peux-tu dire de ces 2 nombres ?
Ensuite, si les plans sont parallèles, que peux-tu dire des quantités a, a', etc..? Toujours dans l'idée que a²+b²+c²=1

[inviteda3529a9]

merci de votre réponse
je ne vois pas vraiment comment peut on admettre a²+b²+c²=1 ?
|A| = |B| =) A=B ou A=-B mais où aller après ça ?
si parallèle, a=a', b=b', c=c' mais d<>d' et ...
désolé mais j'ai vraiment du mal sur ce problème.

Merci d'avance de votre aide.

A tout de suite.

[invite6919e4bc]

si tu divises l'équation de ton plan par racine(a²+b²+c²) tu obtiendras bien a²+b²+c²=1 (équation normale)

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea3eb043e]

Alors oublie l'histoire du a²+b²+c², on va faire lourdingue !
Tu as trouvé une expression
abs(ax+by+cz+d)/sqrt(a²+b²+c²) = abs(a'x+b'y+c'z+d')/sqrt(a'²+b'²+c'²)
Qui ressemble furieusement à un truc du genre |A| = |B|, donc tu conclus.
Si les plans sont parallèles, il n'est pas exact que a=a', surtout si tu n'as pas normalisé a²+b²+c², ce sont les a, a' qui sont proportionnels.

[inviteda3529a9]

on conclut comment avec abs(ax+by+cz+d)/sqrt(a²+b²+c²) = abs(a'x+b'y+c'z+d')/sqrt(a'²+b'²+c'²) en faisant référence à |A| = |B| ???

[invitea3eb043e]

En disant qu'on a soit (ax+by+cz+d)*sqr(a'²+b'²+c'²) = (a'x+b'y+c'z+d')*sqr(a²+b²+c²) ce qui est l'équation d'un plan ou bien la même chose avec un signe -, qui donne un autre plan.
Si les plans sont parallèles, un de ces plans a pour équation 0 x + 0 y + 0 z = quelque chose, ce qui n'est pas trop sympa, mais c'est un peu plus subtil à voir, surtout si on n'a pas normalisé a²+b²+c² à 1.

[inviteda3529a9]

je suis désolé mais je ne vous suit pas vraiment
Je suis repartit de plus haut:

abs(ax+by+cz+d)/sqrt(a²+b²+c²) = abs(a'x+b'y+c'z+d')/sqrt(a'²+b'²+c'²)

En élevant au carré les valeurs absolues disparaissent.

Tu as une égalité du type : a.|P| = a'.|P'|

Donc : a².P² = a'².P'²

Alors : (a.P)² - (a'.P')² = 0

(a.P + a'.P').(a.P - a'.P') = 0

Par le théorème du produit nul, cela donne bien deux plans.

Cependant, en développant les 2 plans, on tombe sur 2 équation très longues et compliqués (ce qui me laisse un doute.)

Pourriez vous m'éclairer sur cette piste ?

[inviteda3529a9]

Voici les équations de mes 2 plans:

(ax+by+cz+d)/sqrt(a²+b²+c²) - (a'x+b'y+c'z+d')/sqrt(a'²+b'²+c'²) = 0
(ax+by+cz+d)/sqrt(a²+b²+c²) + (a'x+b'y+c'z+d')/sqrt(a'²+b'²+c'²) = 0

Malheureusement, en vérifiant avec les plans d'équations x+y+z+1=0 et 2x+y+z+1=0, celà ne marche pas ???