Intersection de deux plans

[invite7e50cc6e]

Bonjour à tous,

Voici mon problème. Je cherche à calculer l'équation paramétrique de la droite correspondant à l'intersection de deux plans.
Ces deux plans sont caractérisés par :
- le premier plan passe par l'origine du repère O et a pour normale n1
- le deuxième plan passe par un point A et a pour normale n2

Je cherche l'équation paramétrique de la droite, donc je cherche à déterminer un vecteur directeur et un point d'origine : M+lambda*d où M est le point d'origine et d le vecteur directeur.

Pour le vecteur directeur, je pense qu'en faisant (n1^n2)/norme(n1^n2), on obtient un vecteur directeur unitaire de la droite.

Par contre mon problème est de déterminer le point d'origine. J'aimerai avoir comme point d'origine de la droite le point le plus proche de l'origine du repère.
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[pat7111]

Pour le vecteur directeur, je pense qu'en faisant (n1^n2)/norme(n1^n2), on obtient un vecteur directeur unitaire de la droite.

Oui

Par contre mon problème est de déterminer le point d'origine. J'aimerai avoir comme point d'origine de la droite le point le plus proche de l'origine du repère.

Il faut trouver une solution au systeme




(Le premier est l'Eq cartesienne du plan de normale n1 passant par 0, le deuxieme est le plan de normale n2 passant par A)

[invite7e50cc6e]

Merci pour ton aide.

Il faut trouver une solution au systeme




(Le premier est l'Eq cartesienne du plan de normale n1 passant par 0, le deuxieme est le plan de normale n2 passant par A)

Oui mais ce système admet une infinité de solutions qui sont les points de la droite, ça ne me donne pas le point le plus proche de l'origine.

[invitee625533c]

Bonjour,
pourquoi ne pas utiliser la méthode de la terminale:

*partir des deux équations cartésiennes des deux plans,
* exprimer chacune des coordonnées x, y et z en fonction de z (ou en fct de x, ou en fct de y, selon la commodité),
*si on exprime tout en fct de z par exemple on aura le système paramétrique représentant la droite (d) d'intersection, de paramètre z: on aura ainsi un vecteur directeur (non forcément unitaire) et un point de la droite (d) (pas forcément le plus proche de O).

Si A(x,y,z) est le point de la droite (d) qu'on cherche le plus proche de O, alors A est le projeté orthogonal de 0 sur (d) on peut faire:

en remplaçant les coordonnées de A par la représentation paramétrique.

[A voir en vidéo sur Futura]

[pat7111]

Oui mais ce système admet une infinité de solutions qui sont les points de la droite

En effet

ça ne me donne pas le point le plus proche de l'origine.

Et alors ? C'est toi qui te fixes l'objectif du plus pres de l'origine ou ton enonce ?

Pour l'equation parametrique d'une droite, il faut un vecteur directeur et un point de la droite. Donc tu choisis celui qui te plait.

Si tu veux le plus proche de l'origine, une methode (parmi d'autres) pourrait etre d'exprimer la norme au carre de avec M un point courant de la droite en fonction du parametre et en chercher la valuer du parametre pour laquelle cette norme est minimale mais l'interet de prendre ce point particulier m'echappe.

[invite7e50cc6e]

Salut,

Merci pour votre aide.

C'est moi qui ce fixe cet objectif. En fait c'est pas un problème de maths qui vient d'un énoncé mais un problème pratique.

J'aimerai savoir s'il y a moyen de résoudre ce problème vectoriellement (ou matriciellement) plutôt qu'analytiquement car ça intervient dans un programme écrit en langage C.

Le coup de la direction en calculant le produit vectoriel, je trouvais ça très pratique. Maintenant j'aimerai savoir s'il y a moyen de faire ça pour le point le plus proche de l'origine ou de la droite OA.

Encore merci de votre aide.

[sylvainc2]

Pour résoudre le système d'équations, tu as 2 équations et 3 inconnues, ca ne devrait pas être difficile d'écrire une routine qui fait ca automatiquement.

Une fois que tu a un point de la droite, et le vecteur directeur, tu peux trouver le point de la droite le plus proche d'un autre point avec ceci, écrit en C:

// Distance entre un point Ppx,py,pz) et une droite L=A + tB en 3D
// Aax,ay,az) et Bbx,by,bz)
// Le repère est supposé être orthonormal et l'origine (0,0,0)
// Il s'agit de calculer norme( B x (P - A) ) / norme( B )

double dist_point_ligne(POINT3D P, POINT3D A, POINT3D B)
{
double d,e;
POINT3D temp, ret;

// P - A:
temp.x=P.x - A.x;
temp.y=P.y - A.y;
temp.z=P.z - A.z;

// ret = B x (P - A):
prod_vectoriel(B,temp,&ret);

d = sqrt(ret.x*ret.x + ret.y*ret.y + ret.z*ret.z);
e = sqrt(B.x*B.x + B.y*B.y + B.z*B.z);

if (e!=0) // utiliser DBL_EPSILON?
d=d/e;
return d;
}