vecteur propre

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bonjour,

j'aurai besoin d'aide pour la dernière question de cet exo:
On considère un C-ev de dimension finie E. Soient f et g 2 endomorphismes de E qui commutent: fog=gof. On se propose de démontrer que f et g ont un vecteur propre en commun, c'est-à-dire qu'il existe 2 scalaire a et b et un vecteur v non nul tel que f(v)=av et g(v)=bv
1) justifier que f admet une valeur propre. Dans la suite on la note a et on note E_a le sous-espace propre associé
2)Montrer que E_a est stable par g. On note g_a la restriction de g à E_a
3)montrer que g_a admet une valeur propre
4)montrer que f et g ont un vecteur propre en commun

la 4) me pose problème j'ai écrit la définition
f(v)=av
g_a(u)=bu

je veux montrer que u=v mais comment faire?


merci de votre aide
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[yootenhaiem]

Bonsoir,
on a g_a est la restriction de g sur E_a. Et chaque élément de E_a est un vecteur propre de f.
Le que vous avez pris est bien sur un vecteur propre de aussi, car il est dans E_a.
D'ou on a:
ga(u)=b.u et f(u)=a.u

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d'accord merci