Equations différentielles

[invite06a166f3]

Bonjour, je suis face à une équations différentielles assez balèze :

y*y'' - (y')² + 2*y² = C,

où C est une constante négative.
Si quelqu'un pouvait m'aider, ce serait génial !
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[invite57a1e779]

Bonjour,

L'équation est incomplète en la variable : la méthode usuelle est de chercher en fonction de .

On commence par chercher les solutions constantes, puis, pour une solution non constante, on pose , d'où :



et on obtient une équation différentielle en (de la variable ) que l'on résout.

On obtient enfin en fonction de en résolvant l'équation à variables séparées : .

[invite06a166f3]

Mais même en posant y' = p(y), l'équation en p n'est pas évidente à résoudre... Je ne vois pas vraiment de solution facile à dégager !

[invite57a1e779]

La constante C est négative : il n'y a pas de solution constante.

En posant ,on se ramène à l'équation : qui est linéaire en : .

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite06a166f3]

Je suis désolé, mais je suis encore bloqué ! Après avoir résolu l'équation linéaire en q, l'équation en y est assez balèze !

[invite57a1e779]

En général, pour ce type d'équation différentielle, on n'obtient pas explicitement y en fonction de x ; le plus souvent, on se contente de connaître des arcs paramétrés, x et y étant connus en fonction de p, qui sont les supports des graphes des solutions.