résoudre une équations aux dérivées partielles : equation de la chaleur

[invitee21b6e04]

Bonjour!

Dans le cadre de mon TIPE ( basé sur les réactions SHS et la propagation de front ) je dois essayer de résoudre l'équation de la chaleur :




Normalement j'avais prévu de résoudre tout ca informatiquement, et pourquoi pas après passer à du 2 D..
Cependant je n'ai pas torp d'idée comment commencer..


J'ai vu qu'il existait différente méthode, (Méthode des différences finies, Méthode des éléments finis...) mais je n'ai pas trop d'idée comment les mettre en place informatiquement...

Merci de votre aide ( pour les admins n'hésitez pas à le déplacer si vous trouver que ca concerne plus la physique..)

Jean-Baptiste


Mon but étant surtout d'avoir la vitesse, et pourquoi pas la temperature en tout point..
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[invite2e5fadca]

Pourrais - tu m'écrire l'équation que tu veux résoudre numériquement.

[inviteea028771]

Attention, ça n'est pas une équation aux dérivées partielles, mais un vilain système d'équations aux dérivées partielles (non linéaire pour ne rien arranger ).

Donc globalement, la méthode des éléments finis "classique" ne te serra pas d'une grande utilité

[invite9c7554e3]

pourquoi ce n'est pas résolvable par elements finis tryss ? si mes souvenirs de cours sont bons on doit pouvoir aussi par elements finis résoudre ce genre de choses ?

=> par contre moi j'aurais tendance à commencer par le probleme stationnaire pour simplifier les choses et ensuite faire le probleme temporel ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteea028771]

Le problème stationnaire est vraiment simple :

La seconde équation donne
Donc la première donne

A partir de là, la solution (si j'ai bien compris les conditions au limites) est la fonction

pourquoi ce n'est pas résolvable par elements finis tryss ? si mes souvenirs de cours sont bons on doit pouvoir aussi par elements finis résoudre ce genre de choses ?

Je ne sais pas... Déjà tu n'as pas le théorème de Lax-Milgram, et puis quelle est la formulation faible de ce problème?

C'est sur qu'il existe des méthodes pour résoudre des systèmes d'edp, mais je n'ai jamais vu comment faire, et ça n'est pas abordé dans les cours "de base" sur les éléments finis (je suis pas une référence ceci dit)

[invitec811222d]

Bonsoir, il me semble que les méthodes de volumes finis sont bien adapté pour ce genre d'équations.
Vous pouvez toujours dans un premier temps utiliser une méthodes des différences finis, après faut il savoir si votre schéma numérique est consistant et stable.

[invite9c7554e3]

prenons l'exemple Gasless combustion, on peut insérer cette équation dans la première et dans la seconde. Ensuite je pense que l'on pourra résoudre la seconde équation analytiquement ? ainsi on aura l'expression que l'on pourra introduire dans la première équation. Ainsi il ne restera plus que la première équation à resoudre en trouvant ça formulation faible ?
(je pense qu'a partir d'ici la formulation faible est assez facile à obtenir mais pas avant)

quand pensez vous ? (car je suis pas vraiment sur que l'on peut trouver une solution analytique à (2) )

ps: sinon résoudre le systeme directement par elements finis ça doit pouvoir ce faire mais je ne l'ai jamais fait donc je ne vois pas trop comment il faut s'y prendre.
la methode des différence finis doit permettre de faire ceci plus facilement je pense