1)Analyse : extremum locaux, 2)Algèbre: Calcul matriciel
Si A = Hess (f(a))
1)A définie négative => a est un max local stricte de f(x)
2)A définie positive =>a est un min local stricte de f(x)
3)A indéfinie =>a est un point selle de f(x)
i)Comment démontrer ces implications?
ii) (Rien a voir) : Toute application linéaire peut-elle etre vue comme un changement de base?
iii) Comment montrer <Ax , x> = <X, A(transposé)x>?
Pour les 2 dernières questions :
ii) Oui, si c'est une application linéaire non nulle si mes souvenirs sont bons
iii) Tu as essayé avec la formule <X;Y> = t(X)Y et en remarquant qu'un scalaire est égal à sa transposé ?
i) Il faut utiliser les formules de Taylor-Young (ou reste intégrale.) et se ramener au cas de la dimension 1 :
Soit f ta fonction. Alors, tu as
f(a+tv)-f(a)=t^2 f''(a)(v,v) + o(t^2)
Tu obtient ainsi pour tout t suffisamment petit, on a que f(a+tv) < f(a) dans le cas où f''(a) est négative.
Attention : A indéfinie n'implique pas un point selle. Ce qui implique un point selle est A non négative et non positive. Ainsi il existe v1 et v2 tel que f''(a)(v1,v1)>0 et f''(a)(v2,v2)<0. Ainsi pour tout t suffisamment petit tu as :
f(a+tv1) > f(a) et f(a+tv2)< f(a)
Donc a est un point selle.
mais si j'ai Hess f(a) = (0,0) la matrice est ni définie positive ni définie négative mais on a pas affaire a un point selle non) (f(x,y)=x^3 )
-----------------------(0,0)
