calculer un integrale avec les résidus

[invitee844e80e]

salut a tous le monde voila on a donné un intégral le voila

I=exp(ax)/cosh(x) le long d'un rectangle de sommet R,-R,R+i(pi),-R+i(pi)
ensuite tend R vers l'infini et on déduit l’intégrale
ça ma vraiment casser la tête est j'ai besoin d'aide
merci d'avance
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[invitee844e80e]

et un peu de détail merci

[invite63e767fa]

salut a tous le monde voila on a donné un intégral le voila

I=exp(ax)/cosh(x) le long d'un rectangle de sommet R,-R,R+i(pi),-R+i(pi)
ensuite tend R vers l'infini et on déduit l’intégrale
ça ma vraiment casser la tête est j'ai besoin d'aide

La question est mal posée : si x est réel, son parcours ne peut être que sur l'axe des réels et non pas sur un rectangle du plan complexe.
En fait, la fonction à intégrer est une fonction dont la variable complexe est z=exp(i x)
Arrange-toi pour que la fontion ne contienne aucun x, ni dx. Elle ne doit contenir que des z et dz (qui n'est pas égal à dx).

[invite0fa82544]

salut a tous le monde voila on a donné un intégral le voila

I=exp(ax)/cosh(x) le long d'un rectangle de sommet R,-R,R+i(pi),-R+i(pi)
ensuite tend R vers l'infini et on déduit l’intégrale
ça ma vraiment casser la tête est j'ai besoin d'aide
merci d'avance

Il suffit de décomposer l'intégrale en ses quatre contributions correspondant aux quatre côtés du rectangle, de démontrer que dans la limite infini les intégrales sur les côtés verticaux sont nulles et d'appliquer le théorème des résidus en notant qu'il y a un pôle simple en . On trouve ainsi que l'intégrale vaut quand (sinon l'intégrale n'existe pas)

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitee844e80e]

applique le résidu sur quelle fonction ???? car on "cosh" ne s'annule jamais dans R

[invitebf26947a]

Ca sent le lemme de jordan à plein nez!!

[invite0fa82544]

applique le résidu sur quelle fonction ???? car on "cosh" ne s'annule jamais dans R

C'est sûr, mais s'annule pour tous les de la forme ; le seul zéro situé dans le contour est , d'où le résultat.