Calcul d´intégrale le long d´une ellipse avec le théorème des résidus

[Bartolomeo]

soit C la courbe défini pout par
calculer

Aussi bête que ca peut parraitre, je sais calculer cette intégrale pour un cercle, mais comme il me manque de l´entrainement je bloque pour le calcul avec l´ellipse. Serait il possible de me décrire comment débuter ici?

Cordialement.
Bart
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[invite1e1a1a86]

où sont les pôles?

sont t'ils enlacés?

quels sont les résidus?

[Bartolomeo]

merci pour la réponse mais je ne suis pas sûr si ca m´aide vraiment.

Pour répondre aux questions:
Comme pour le cercle, il y a un pole d´ordre 2 en z_0=0 et deux poles simples pour z_1=-1+i et z_2=-1-i





et

[invite1e1a1a86]

ben c'est fini avec le théorème des résidus, ton intégrale vaut la somme des résidus aux poles enlacés

http://fr.wikipedia.org/wiki/Théorème_des_résidus

[A voir en vidéo sur Futura]

[Bartolomeo]

ca me parait bizarre! à aucun moment j´ai utilisé que C est une ellipse. Or il doit bien avoir une contrainte ou bien un changement de variable à faire, non?

[invite6a5f6d49]

Salut,

Le théorème des résidus est valable pour n'importe quel lacet.
Là où il peut y avoir une différence c'est le nombre de points entourés par le lacet. Il me semble que dans ton cas particulier (j'ai lu vite fait) les points entourés par le cercle ou l'ellipse sont les mêmes. Le calcul avec le cercle ou avec l ellipse est donc le même.

[Bartolomeo]

Merci pour vos réponses!

Là où il peut y avoir une différence c'est le nombre de points entourés par le lacet. Il me semble que dans ton cas particulier (j'ai lu vite fait) les points entourés par le cercle ou l'ellipse sont les mêmes.

Cela ne dépend il pas du rayon du cercle?

[invite6a5f6d49]

En fait je voulais parler des pôles, les points ne sont évidemment pas tous les mêmes mais les pôles si (tu l'as dit toi même, comme pour le cercle....)

Tu as tout pour conclure à présent

[Bartolomeo]

merci beaucoup!

Je me suis planté dans la dérivée du 1er résidu. Il est nul!

[Bartolomeo]

J´ai une question à propos de l´ellipse: Ici je suis parti du principe que les poles sont dans l´ellipse sans vraiment vérifier, comme c´est un exo d´entrainement les chances étaient grandes
Mais en général, y a t´il un truc pour voir de suite si les poles sont dans l´ellipse? Avec C:= 3cost + 2i sint, ce n´est pas évident pour visualiser où se trouve le contour de l´ellipse...

[breukin]

Tu peux chercher l'intersection de la droite reliant 0 au pôle avec l'ellipse, et voir si le module de ce point intersection est plus grand ou plus petit que le module du pôle.