Bonjour, lors d'un oral (concours TPE/EIVP) j'ai eu comme exercice :
Résoudre dans Z/36Z :
x² - 31x +18 = 0 (sachant que -31 , 18 , 0 sont les classes d'équivalences de ces éléments dans Z/36Z)
Et je n'ai pas du tout vu comment partir. Donc pourriez-vous m'indiquer comment on résout ce type d'équation svp ?
Merci d'avance,
Sebosst.
Bonjour,
Une manière simple de résoudre ton équation serait de la résoudre dansen distinguant les cas, puis de regarder les solutions qui conviennent.
Dernière modification par Seirios ; 07/07/2010 à 12h40.
If your method does not solve the problem, change the problem.
Dans Z/36Z, tu as :
Mais je ne sais pas si cela te permet de trouver toutes les solutions...
Quod erat demonstrandum.
Je n'ai rien écrit, cette méthode est bien trop longue et calculatoire, surtout pour un oral.Envoyé par Phys2
Une manière simple de résoudre ton équation serait de la résoudre dans
If your method does not solve the problem, change the problem.
Tu peux dire que x est solution de ton équation ssi elle est solution de la même équation dans
If your method does not solve the problem, change the problem.
Merci pour vos réponses rapides...
Je ne vois pas trop en quoi en cela m'aide mais c'est surement moi qui bug. J'avais pensé à faire quelque chose de la sorte pour faire apparaitre une petite forme canonique mais je n'ai pas vu comment faire apparaitre le terme avec le double produit (car dans Z/36Z 31 est toujours impair)Dans Z/36Z, tu as :
Mais je ne sais pas si cela te permet de trouver toutes les solutions...
L'examinateur a voulu me faire penser à un truc comme ça, donc j'étais parti sur le lemme chinois vu que 36 = 2² x 3² donc il y a pas de trucs premiers entre eux mais bon j'avais pas trop avancé après...
Si on regarde les congruences, on doit avoir dans Z/9Z, x=0 ou x=4, et dans Z/4Z, x=1 ou x=2. Après, tu écris tous les nombres compris entre 0 et 35, tu barres les nombres dont le reste par division par 4 est 0 ou 3, tu entoures les nombres multiples de 9 puis ceux dont le reste par division par 9 est 4 (une sorte de crible d'Eratosthène), et tes solutions seront les nombres qui sont entourés sans être barrés. Finalement, je trouve que les solutions sont 9, 13, 18 et 22 (résultat vérifié).
If your method does not solve the problem, change the problem.
Okay, je vais voir tout ça... Merci beaucoup pour ton aide
Sebosst
Je t'ai dis ca car on a : x²-31x+198=(x-22)(x-9). Donc tu as déja deux solutions. Mais je ne sais pas s'il peut y en avoir d'autres par contre...
Quod erat demonstrandum.
il y en a deux autres.
Pour obtenir toutes les solutions, il faudrait que Z/36Z soit intègre, ce qui n'est pas le cas parce que 36 n'est pas un nombre premier. Donc ce genre de factorisation est surtout utile surtout lorsque l'on se place dans un anneau intègre ; si ce n'est pas le cas, on peut toujours essayé de factoriser sous la forme d'un carré, ce qui ne peut pas marcher ici puisque 31 est impair et que 36 est pair.
If your method does not solve the problem, change the problem.
Et alors ? comment en est-tu sur ? 169 est bien impair non ? 25 aussi ? pourquoi pas (31+36k) ?
Essayons de trouver p entier tel que p²=31+36k. p est impair, il s'écrit donc p=2q+1.
donc 4q²+4q+1=31+36k <=> 2q²+2q=2(q²+q)=15+18k donc 15+18k est pair, ce qui n'est pas possible. Donc p n'existe pas. Donc tu as raison, mais pas parce que 31 est impair et parce que 36 est pair, puisque même si 7 est impair et 18 est pair, 7+18=25=5²
Quod erat demonstrandum.
Ce que je voulais dire, c'était que l'on ne peut pas mettre
If your method does not solve the problem, change the problem.
Okay, je comprends ,forme canonique impossible quoi, J'avais mal interprété désolé
Quod erat demonstrandum.
