Equation dans C : z²=15-8i

[invite0f004440]

Bonjour, à propos des résolutions d'équations complexes,

j'aimerais comprendre les étapes qui permettent de passer de :

z² = 15-8i

à la solution racine :

{4-i, -4+i}

D'avance, merci.
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[invite0d212215]

Les produits remarquables, ça te dit quelque chose ?

[invite0f004440]

Oui :

jusqu'à : a²-b²+2ab = 15-8i donc :

{a²-b²=15}
et
{2ab=-8} => {ab=-4}

après, je bloque ...

[invite0d212215]

Non ce n'est pas ça, mais il faudrait créer un produit remarquable au sein de l'équation :
z² = 15 - 8i = 15 - 2*4*i = 16 - 2*4*i + i² = (4-i)²

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite0f004440]

Le correcteur veut que j'utilise les modules. Cet usage doit aboutir à :

(a²+b²)² = 17² donc :

{a²-b² = 15}
{a²+b² = 17}

d'où : a² = 16 et b² = 1

c'est la transformation : (a²+b²)² = 17² qui me pose problème ...

Mais ta voie me semble plus simple ...

[invite0f004440]

Le correcteur cherche en faite à faire trouver une solution de résolution générale :

z² = 15-8i
a²-b²+2ab = 15-8i donc :

{a²-b²=15}
{ab=-4}

D'autre part :

[racine²(z*conj(z))]² = a² + b²
et
racine²((15-8i)(15+8i)) = 17, donc :

{a²-b²=15}
{a²+b²=17}

Donc, a²=16 et b²=1 ... simple, mais encore fallait-il y penser ...

@+