limite

[sabinesabine]

bonjour

j'ai un exercice corrigé dans mon livre qui donne seulement les réponses et non pas la rédaction.Je ne sais vraiment pas comment rédiger et comme mon contrôle approche j'ai vraiment besoin de votre aide
voici l'énoncé déterminer les limites des fonctions suivantes en a réel donné
f(x)=racine de (2x- 1)/racine de (3x+2) en a=1/2 puis en a= - 2/3
g(x)=(2x)/(racine de 2 - x - x²) en a=1,puis en a= -2
h(x)=(3 - x)/sin x en a=0 puis en a= pi
i(x)=(2x+3)/tan x en a = - pi /2 puis en a= pi/2

MERCI de votre aide
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[Jeanpaul]

Une bonne idée, c'est déjà de donner le domaine de définition de la fonction : ce qui est sous le radical doit être positif et les dénominateurs ne doivent pas être nuls.
Ainsi, pour f(x) tu peux dire que 3 x + 2 >0 strictement, et aussi 2x - 1 >=0 donc f(x) définie sur ]+1/2; + infini[, qui est le recouvrement des 2 intervalles.
Si x tend vers 1/2 plus zéro pour que la fonction soit définie, alors le numérateur tend vers zéro, le dénominateur tend vers racine (7/2), le quotient tend vers zéro.
x ne peut tendre vers -2/3 car la fonction n'est pas définie autour de -2/3

Pour g(x), même scénario : pour analyser le signe du dénominateur, on va l'écrire sous la forme racine(2+x)(1-x), ce qu'on voit bien quand on a cherché les racines du trinôme.
On regarde sur les 3 intervalles ]- infini ; -2[ , ]-2 ; +1[ et ]+1 ; + infini[ les signes des 2 quantités (2+x) et (1-x), un petit tableau serait bienvenu.
Il faut que le produit soit positif strictement car c'est au dénominateur.
Par exemple si x tend vers -2, ça ne peut être que vers -2 - 0 (par valeurs inférieures), le numérateur tend vers -4, le dénominateur tend vers zéro, il est forcément positif, comme tout radical, donc le quotient tend vers - infini.
Même raisonnement si x tend vers 1, la conclusion n'est pas la même.

Pareil pour h(x) : la fonction est définie quand ? Il se passe notamment des choses quand x tend vers zéro parce que le dénominateur tend vers zéro.Le numérateur tend vers 3 et n'embête personne. Il faut regarder comment le dénominateur tend vers zéro selon le cas x tend vers zéro plus ou zéro moins.

[sabinesabine]

Une bonne idée, c'est déjà de donner le domaine de définition de la fonction : ce qui est sous le radical doit être positif et les dénominateurs ne doivent pas être nuls.
Ainsi, pour f(x) tu peux dire que 3 x + 2 >0 strictement, et aussi 2x - 1 >=0 donc f(x) définie sur ]+1/2; + infinipourquoi[, qui est le recouvrement des 2 intervalles.
[COLOR="red"]Si x tend vers 1/2 plus zéro pour que la fonction soit définie, alors le numérateur tend vers zéro, le dénominateur tend vers racine (7/2), le quotient tend vers zéro[/COLOR].pas compris
x ne peut tendre vers -2/3 car la fonction n'est pas définie autour de -2/3

Pour g(x), même scénario : pour analyser le signe du dénominateur, on va l'écrire sous la forme racine(2+x)(1-x), ce qu'on voit bien quand on a cherché les racines du trinôme.
On regarde sur les 3 intervalles ]- infini ; -2[ , ]-2 ; +1[ et ]+1 ; + infini[ les signes des 2 quantités (2+x) et (1-x), un petit tableau serait bienvenu.
Il faut que le produit soit positif strictement car c'est au dénominateur.
Par exemple si x tend vers -2, ça ne peut être que vers -2 - 0 (par valeurs inférieures), le numérateur c'est pas le denominateur tend vers -4, le dénominateur tend vers zéro, il est forcément positif, comme tout radical, donc le quotient tend vers - infini.pouquoi
Même raisonnement si x tend vers 1, la conclusion n'est pas la même.

Pareil pour h(x) : la fonction est définie quand ? sur -1,1 Il se passe notamment des choses quand x tend vers zéro parce que le dénominateur tend vers zéro.Le numérateur tend vers 3 et n'embête personne. Il faut regarder comment le dénominateur tend vers zéro selon le cas x tend vers zéro plus ou zéro moins.

la plupart des choses je n'ai pas compris(pour tout te dire je suis larguée)

[Jeanpaul]

Reprenons :
Fonction f(x) : il faut que (2x - 1) soit positif ou nul et que (3x+2) soit strictement positif, sinon on ne peut pas calculer les racines carrées ou bien le dénominateur (en bas) vaut zéro.
(2x - 1) positif, ça implique que x>=1/2
(3x +2) strictement positif ça implique que x>-2/3
Et il faut que ces 2 conditions soient réunies.
Un petit dessin montre que cela se produit dès que x>=1/2 parce qu'alors on a automatiquement x>-2/3

Donc ça marche dès que x>=1/2, et il revient au même de dire que x doit être compris dans l'intervalle [1/2 ; + infini[ (fais un dessin)
Si x tend vers 1/2 (se rapproche autant qu'on veut), alors 2x - 1 va se rapprocher de zéro en restant positif sinon on ne peut calculer la racine carrée (il s'approche de 1/2 par la droite)
Donc la racine carrée de (2x - 1) va se rapprocher de zéro.
Le dénominateur va tendre vers la racine carrée de 3*1/2 + 2 ce qui fait la racine carré de 7/2.
Le quotient numérateur/dénominateur tendra donc vers zéro divisé par racine(7/2) ce qui fait zéro.

Le second exo est à peine plus compliqué car il fait apparaître une forme 1/zéro, qui est une façon imagée de dire que le numérateur reste fini et ne tend pas vers zéro tandis que le dénominateur tend vers zéro.
Ainsi quand on étudie le dénominateur, on voit qu'il s'écrit racine[(2+x)(1-x)]
Le crochet doit être positif sinon impossible de calculer la racine carré. Si on a étudié le signe de ce produit (2+x)(1-x), on voit qu'il est positif si x est compris entre -2 et +1.
Si x tend vers 1, ça ne peut être qu'en restant inférieur à 1 : 0,9 puis 0,95 puis 0,99, etc... Alors le dénominateur va se rapprocher de zéro en restant positif (comme toute racine carrée). Le numérateur 2 x va se rapprocher de 2*1 = 2
On est donc face au quotient de 2 nombres positifs dont le dénominateur tend vers zéro. Si x vaut 0,9 puis 0,95 puis 0,99 le quotient vaudra pratiquement 2/0,1 puis 2/0,05 puis 2/0,01 et on voit que ça grandit indéfiniment en restant positif, on dit que ça tend vers + infini.
Si x tend vers -2, le dénominateur reste positif et tend vers zéro mais le numérateur 2x tend vers -4 donc le quotient est négatif et augmente en valeur absolue, on dira que le quotient tend vers - infini.
Est-ce plus clair ainsi ? Ca devrait être dans ton cours.

[A voir en vidéo sur Futura]

[sabinesabine]

Reprenons :
Fonction f(x) : il faut que (2x - 1) soit positif ou nul et que (3x+2) soit strictement positif, sinon on ne peut pas calculer les racines carrées ou bien le dénominateur (en bas) vaut zéro.
(2x - 1) positif, ça implique que x>=1/2
(3x +2) strictement positif ça implique que x>-2/3
Et il faut que ces 2 conditions soient réunies.
Un petit dessin montre que cela se produit dès que x>=1/2 parce qu'alors on a automatiquement x>-2/3

Donc ça marche dès que x>=1/2, et il revient au même de dire que x doit être compris dans l'intervalle [1/2 ; + infini[ (fais un dessin)
Si x tend vers 1/2 (se rapproche autant qu'on veut), alors 2x - 1 va se rapprocher de zéro en restant positif sinon on ne peut calculer la racine carrée (il s'approche de 1/2 par la droite)
Donc la racine carrée de (2x - 1) va se rapprocher de zéro.
Le dénominateur va tendre vers la racine carrée de 3*1/2 + 2 ce qui fait la racine carré de 7/2.
Le quotient numérateur/dénominateur tendra donc vers zéro divisé par racine(7/2) ce qui fait zéro.

Le second exo est à peine plus compliqué car il fait apparaître une forme 1/zéro, qui est une façon imagée de dire que le numérateur reste fini et ne tend pas vers zéro tandis que le dénominateur tend vers zéro.
Ainsi quand on étudie le dénominateur, on voit qu'il s'écrit racine[(2+x)(1-x)]
Le crochet doit être positif sinon impossible de calculer la racine carré. Si on a étudié le signe de ce produit (2+x)(1-x), on voit qu'il est positif si x est compris entre -2 et +1.
Si x tend vers 1, ça ne peut être qu'en restant inférieur à 1 : 0,9 puis 0,95 puis 0,99, etc... Alors le dénominateur va se rapprocher de zéro en restant positif (comme toute racine carrée). Le numérateur 2 x va se rapprocher de 2*1 = 2
On est donc face au quotient de 2 nombres positifs dont le dénominateur tend vers zéro. Si x vaut 0,9 puis 0,95 puis 0,99 le quotient vaudra pratiquement 2/0,1 puis 2/0,05 puis 2/0,01 et on voit que ça grandit indéfiniment en restant positif, on dit que ça tend vers + infini.
Si x tend vers -2, le dénominateur reste positif et tend vers zéro mais le numérateur 2x tend vers -4 donc le quotient est négatif et augmente en valeur absolue, on dira que le quotient tend vers - infini.
Est-ce plus clair ainsi ? Ca devrait être dans ton cours.

oui merci c'est plus claire (non ce n'est pas dans mon cours)
mais je voudrai aussi savoir comment rédiger le c et le d svp merci beaucoup

[Jeanpaul]

Je vais te faire le c et te laisser réfléchir sur le d.
Déjà voir que la fonction h(x) n'est définie que si le sinus n'est pas nul, donc si x ne vaut pas zéro, pi, 2 pi, etc..
Si x tend vers zéro, le numérateur tend vers 3, pas d'histoire, il est positif.
Si x tend vers zéro plus, sin(x) tend vers zéro plus (regarde le cercle trigonométrique) , par exemple x= +0,1 puis x=+0,05 puis x=+0,01, etc.. on voit que la fonction h(x) vaudra successivement à peu près 3/0,1 puis 3/0,05 puis 3/0,01 donc ça va devenir grand et positif, donc ça tend vers + infini.
Si x tend vers zéro moins, par exemple -0,1 puis -0,05 puis -0,01, le sinus va tendre vers zéro en étant négatif. Le numérateur sera positif, le quotient négatif et très grand, donc ça tend vers -infini.

En pi, c'est plus subtil.
Déjà 3 - x sera négatif parce que 3 - pi c'est négatif.
Ensuite, supposons que x tend vers pi - zéro, comme pi-0,1 puis pi-0,05 puis pi-0,01, etc.. Un regard sur le cercle montre qu'alors le sinus sera positif et petit. Le quotient sera négatif à cause du numérateur. Donc si x tend vers pi-0, la fonction tend vers - infini.
Si x tend vers pi+zéro, ça tend vers + infini parce que le sinus sera négatif (voir le cercle)