L'indice d'un point par rapport à un lacet a-t-il une limite sur le lacet

[invite97a526b6]

Bonjour,

Toute la question est dans le titre. Je précise:
Prenons pour simplifier un lacet simple orienté positivement. L'indice d'un point par rapport à ce lacet est un nombre entier qui, par exemple, passe de 0 à 1 quand le point traverse en partant de la composante connexe non bornée (extérieur du lacet) à la composante connexe bornée (intérieur du lacet).
Comme il y a discontinuité lors de ce passage, il y a plusieurs cas possible sur le lacet lui-même:
L'indice tend vers une limite différente de 1 ou 0, pas nécessairement entière et qui peut être différente suivant les sens (extérieur vers intérieur ou le contraire), différente pour un même sens suivant la trajectoire du point ....
La valeur absolu de l'indice peut aussi passer à l'infini au franchissement du lacet ...
Il peut aussi n'y avoir aucune limite d'aucune sorte.

Quelqu'un s'est-il déjà posé ces questions qui ne sont peut-être pas pertinentes du tout et dans ce cas je m'en excuse.
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[inviteea028771]

Comment défini tu l'indice d'un point sur le lacet?

[invite97a526b6]

Comment défini tu l'indice d'un point sur le lacet?

Je ne cherche pas à définir l'indice sur le lacet, c'est impossible. Il y a discontinuité.
Je cherche seulement à savoir s'il y a des limites vers lequel tend l'indice quand le point s'approche du lacet, lesquelles limites peuvent être différentes suivant la trajectoire par laquelle le point s'approche du lacet.

Je pense néanmoins qu'il n'y a pas de réponse et que cette question n'est pas pertinente...

[inviteea028771]

Vu que la fonction est constante par morceau ailleurs que sur le lacet, ça me semble assez simple non?

Si tout les points au voisinage du point duquel tu recherches la limite ont le même indice, alors la limite est cet indice, sinon il n'y a pas de limite.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invited73f5536]

Bonjour.

Une réponse heuristique serait que ça dépend de quel côté du lacet on se trouve. On peut justifier ça rigoureusement lorsque l point du lacet est simple et régulier.