Bonjour,
Quelqu'un pourrait-il m'aider à comprendre pourquoi l'hypothèse sur les intervalles du théorème des segments
emboités (les intervalles doivent être fermé et borné) est nécessaire?
Il semblerait que ce théorème soit faux pour l'intervalle In=]0, 1/n[
pourtant les suites an=0 et bn=1/n sont bien convergentes,,
deuxièmement: lim an<=lim bn
et enfin si x appartient a ]0, 1/n[ quelque soit n, 0<x<1/n (inégalités stricte)
en utilisant le théorème des gendarmes on a 0<=x<=1/n (inégalités large)
pareil, et d'après la premire hypothse an<lim an<=lim bn<bn donc
[lim an, lim bn] est égale à l'intersection des In par double inclusion.
(
Voici le théorème tel que je l'ai dans mon livre:
Pour tout n appartenant à N, soit In =[an,bn] un intervalle non vide de R. On suppose satisfaites les conditions suivantes:
1. In=1 est inclus dans In,
2. In est un intervalle fermé et borné
Alors les suites an et bn convergent, lim an<=lim bn
et l'intersection des intervalles In est égale à [lim an, lim bn]
)
réf: Marco mathématiques L1 page 606
Merci d'avance
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