Salut,
je me pose une question depuis un certain temps et je me demande si elle possède une réponse triviale ou non:
On se donne un espace vectoriel normé E (ou métrique) et on se donne un convexe de E.
Existe t'il une norme N (ou une métrique) telle que notre convexe soit la boule unité pour la nouvelle norme? (ou un translaté de la boule unité éventuellement)
Je pose cette question, mais je ne sais pas si elle possède de réponse...
Amicalement,
Quinto
Je ne sais pas si cette proposition est démontré, en tout cas il me semble que ce soit un cas particulier de la Conjecture de Pointcaré.... (tout du moins en dimention 3) mais il m'arrive de me tromper aussi
Pourquoi tu pars d'un ev déjà normé ou d'un espace métrique ?
Sinon il me semble que j'ai déjà vu un oral d'Ulm qui ressemblait à ça, et dans lequel on construisait la norme, mais il faudrait peut-être commencer avec des conditions plus rectrictives, genre un ev de dimension finie.
Au fait, ça a un sens de parler de partie convexe dans un espace métrique qui ne serait pas muni d'une structure d'ev ? Parce que je vois mal ce que pourrait être un segment ...Envoyé par Quinto
Si C est ouvert convexe tel que, et pour tout x, il existe
On pose norme de x = inf
Salut Quinto.
Voilà un résultat plus topologique qui je pense pourra eclairer ta lanterne, mais qui ne répond pas exactement à tes attentes:
Si tu es dans un espace (affine) normé, alors tout CONVEXE ouvert dont la fermeture est COMPACTe est homéomorphe à la boule unité ouverte.
En espérant ne pas dire de bétises...
Ca ne marcherait pas en prenant le sup des lambda pour x non nul, et 0 pour x nul ?Si C est ouvert convexe tel que
On pose norme de x = inf
Comme hypothèse, il faut au moins supposer que notre convexe C est symétrique par rapport à 0 (pour que ||x||=||-x||).
La convexité elle nous donne l'inégalité triangulaire.
Il doit aussi falloir supposer que pour tout x il existe un scalaire
En prenant comme nouvelle norme N définie par :
C'est bien défini par hypothèse,
L'inégalité triangulaire estrespectée.
On a donc une semi-norme.
Pour avoir une norme, on a en plus besoin de supposer que pour tout x différent de 0 :
On a ainsi une CNS pour avoir la boule unité d'une norme (c'est suffisant, et c'est vérifié par la boule unité d'une norme donc nécessaire).
On ne peut supprimer aucun e hypothèse (dans chaque cas on trouve facilement un contre-exemple).
Bilan des CNS :
C, partie de l'espace vectoriel E, est la boule unité d'une norme sur E si et seulement si :
- C est convexe et non vide
- C est symétrique par rapport à 0
A mon avis, c'est bien
Pour montrer, norme(x+y)<=norme(x)+norme(y),
on considere le
(x+y)/(a+b) appartient a C donc norme(x+y)<=a+b or
a=norme(x) et b= norme(y).
je n'ai pa trés bien compris pourquoi on a besoin d'avoir un convexe symetrique par raport à 0? je pensais que lorsqu'on definissait une nouvelle norme on pouvais se permettre une translation... enfin je suis pas sur (c'est pour ca que je pose la question)
Tu peux en effet supposer qu'il s'agit d'une boule centrée en un autre point que 0.
Dans ce cas, il suffit de supposer que ton convexe est symétrique par rapport à un point et non plus par rapport à 0.
Salut Quinto,
Si on prend un segment de droite (un convexe s'il en est) je pense qu'on aura du mal à en faire la boule unité d'un evn.
Plus généralement, un sev d'un evn ....
Salut,
merci à tous pour vos réponses très intéressantes.
Effectivement, il faut ajouter que l'on a la symétrie par rapport à 0, mais je la supposais implicitement.
Cordialement,
Quinto
