Vecteurs et calcul d'angles: exo 1°S

[invite9b03bd15]

Salut ! Je suis en 1ère S et j'ai un exo a faire que je n'arrive pas à terminer. J'ai réussi toutes les questions sauf la derniere la question ouverte.

ABCDEFGH est un cube d'arête a.
M,N,et P sont les points définis par : (VECTEURS)
GM = 1/4 GH, EN = 1/4 EF
BP =1/4 BA
I et J sont les milieux respectifs des arêtes [AB] et [GH].
a. Démontrer que (vecteurs) MN = CI et NP = JC
b. Démontrer que la section du cube par le plan (MNP) est un pentagone MNPQR où Q et R sont les milieux respectifs de [BC] et[CG]
c. Démontrer que PM = 2 QR
d. Calculer les longueurs des cotés du pentagone en fonction de a.
e. Question ouverte : calculer les angles du pentagone.

COMMENT DOIS JE FAIRE POUR TROUVER LES ANGLES DU PENTAGONE? je pense que ca doit etre de la trigonométrie, mais ou?!

merci d'avance
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[invite9b03bd15]

vous avez des idées? svppppppp *rougit*

[inviteea95de08]

il faut utiliser la relation dans un triangle :
a² = b² + c² - 2 bc cos A (où A est l'angle opposé au côté a)
on aura par exemple avec le triangle MNP :
MP² = MN² + NP² - 2 MN.NP cos N soit en utilisant (d) :
2 a² = 5/4 a² + 5/4 a² - 2 rac(5)/2 a . rac(5)/2 a cos N puis en mult par 4/a² :
8 = 10 - 10 cos N ==> cos N = 0.2 ==> N = Arccos (0.2) ~ 78.5°
on fait comme ça avec les autres angles et l'affaire est dans le sac.
au préalable il faudra calculer les distances NQ , PR , QM et RN.
dans l'espace, pythagore est toujours valable : par exemple si on appelle S le milieu de FG on a :
NQ² = NS² + SQ² car l'angle en S est droit (QS perpendiculaire au plan EFG)
NQ² = NF² + FS² + SQ² (car NFS est un triangle rectangle)
NQ² = (3/4a)² + (a/2)² + a² = ...
je te laisse finir, c'est fastidieux, c'est pénible mais c'est simple.

[invite9b03bd15]

merci beaucoup!!
Je n'avais encore jamais vu cette formule ca doit etre pour ca que c'est une questio ouverte d'ailleurs.
merci encore

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite9b03bd15]

au fait, comment s'appelle cette relation?

[invite38e68b65]

salut cette formule s'appel la formule d' Al kashi ou communement appelé pythagore pour les triangles quelconque!!

cordialement

[invite9b03bd15]

oki merci beaucoup