primitive assez complexe pour débutant

[invite9c7554e3]

salut tous,

j'ai une fonction comme ceci :



et j'en cherche la primitive (plus exactement j'aimerai l'intégrer entre et

pouvez vous me dire comment faire s'il vous plait...

merci d'avance

A+
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[invite705d0470]

Bonjour,
peut être faut il commencer par "arranger" cette forme ?


Ma première idée serait de décomposer la fonction sous la forme .
Le premier terme ne pose donc plus de problème, reste la seconde fraction rationnelle.
Si le dénominateur n'est pas irréductible, alors factorisez le pour écrire ce quotient comme somme de fractions de degré 1 au dénominateur (donc une nouvelle fois intégrable assez facilement).
Sinon, penser à l'arctangente: avec quelques manipulations, on arrive à écrire le polynôme de discriminant strictement négatif sous la forme générale .
un indice: poser (grand delta= le discriminant (négatif)) et trouver , .

Intégrer donne alors arctangente.

J'espère que ça marche à peu près comme ça ^^

[invite9c7554e3]

merci beaucoup de ton aide
mais comme niveau en math à grandement diminué il y a plein de choses dont je ne me rappel plus ou que je ne comprends pas très bien :

peut être faut il commencer par "arranger" cette forme ?
Ma première idée serait de décomposer la fonction sous la forme .

d'accord, donc tu as fais une décomposition en élément, simple. Je ne me rappel plus trop comment on fait tu pourrais me donner le détail s'il te plait ?

Le premier terme ne pose donc plus de problème, reste la seconde fraction rationnelle.

le premier terme ne pose pas de problème car le numerateur est la dérivée du dénominateur ?
du coup la primitive est :



?

Si le dénominateur n'est pas irréductible, alors factorisez le pour écrire ce quotient comme somme de fractions de degré 1 au dénominateur (donc une nouvelle fois intégrable assez facilement).

je n'ai pas trop compris ce que tu voulais dire, peux tu détailler stp ?
(au passage: je ne peux pas savoir si la fraction est iréductible car mais constante A,B,C,D sont quelconques)

Sinon, penser à l'arctangente: avec quelques manipulations, on arrive à écrire le polynôme de discriminant strictement négatif sous la forme générale .
un indice: poser (grand delta= le discriminant (négatif)) et trouver , .

Intégrer donne alors arctangente.

comme je n'ai pas compris le passage précédent j'ai un peu de mal aussi dans cette dernière partie.

Merci beaucoup pour ton aide précieuse, pourrais tu juste détailler un peu les passages que j'ai mis plus haut afin que je comprennes bien tous les détails (mes cours de math sont un peu loin derriere mois et certaines choses ne sont plus très évidentes pour moi)

a bientôt

[invite705d0470]

Rapidement (désolé, je n'ai pas trop de temps):

- je n'ai jamais eu, pour l'instant, de cours sur cette méthode de décomposition, c'est donc plutôt à l'intuition: je sais que je peux intégrer facilement les formes , c'est donc comme ça que je cherche à décomposer. Je commence par mettre en évidence la dérivée du dénominateur au numérateur, et je mets à part ce qui me reste. Ici, heureusement, c'est une constante multipliée par une forme .

-

le premier terme ne pose pas de problème car le numerateur est la dérivée du dénominateur ?

oui, mais du coup c'est plutôt

-Si on ne sait rien quant à a,b,c,d, alors je ne sais pas quelle méthode choisir car le signe du discriminant n'est pas déterminé: ... faire les deux (dans le doute, une marchera forcément ^^).

-

je n'ai pas trop compris ce que tu voulais dire, peux tu détailler stp ?

.
Dans un cas simple, voilà l'idée: si tu arrive à écrire, à une constante près, la fraction sous la forme , alors tu cherche A, B tels que la fraction devienne . Tu peux les chercher par identification, en remettant tout au même dénominateur (certaines petites astuces peuvent faire gagner du temps, par exemple en écrivant que celà revient d'abord à chercher , et en prenant une valeur particulière tu trouves A et B, ici ) Intégrer cette somme revient alors à retrouver une somme de deux logarithmes.

-

comme je n'ai pas compris le passage précédent j'ai un peu de mal aussi dans cette dernière partie.

Euh ...
C'est du calcul brut et dur, qui vise à mettre en avant une forme particulière (en gros, tu factorises, fais apparaitre des formes canoniques, etc ...). Pour le cas général du polynôme de degré deux, tu peux le mettre, si je ne me suis pas trompé (mais j'ai pas vérifié, pas le tps !) sous la forme . C'est le plus dur à faire
En effet, on cherche alors .
Or:
Y(t) est une fonction affine
. Je pense que cette intégrale vaut alors ici .

J'espère avoir pu vous aider, et surtout que ce que je dis est juste

Amicalement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[breukin]

A partir d'une fraction rationnelle réelle quelconque :

avec un polynôme, par division euclidienne du polynôme par , on arrivera toujours à une forme :
, où est un autre polynôme.

Maintenant, de trois choses l'une : la racine est double, les racines sont réelles distinctes, ou elles ne le sont pas.
Si elle est double, soit , on peut encore simplifier la fraction en , qui s'intègre en .

Si elles sont réelles distinctes, soit et , on pourra toujours réduire en éléments plus simples, par identification des coefficients :
, puis intégrer en .

Si elles ne sont pas réelles, la fraction est déjà irréductible.
Il s'agit alors d'abord de séparer la fraction en deux parties pour faire apparaître (avec les bons coefficients multiplicateurs) :
- d'une part qui sera intégrable en
- et d'autre part
Pour cette dernière fraction, on écrit ensuite , car la dérivée de , c'est , d'où le changement de variable pour l'intégration .

[invite9c7554e3]

merci de votre aide, super !!!!
=> je vais reprendre tous ceci et je vous recontacterez pour une dernière vérification

merci à bientôt

[invite9c7554e3]

si j'ai bien compris, quelque soit le signe du déterminant au dénominateur j'aurais une relation analytique qui me donnera X en fonction Y (avec valeurs réelle) ?

=> merci de me confirmer ceci, ensuite je reprendrais les calculs bien comme il faut depuis le début.

A+