développement limité. Ya un truc Bizarrrrrre!!!

[invite0731164c]

Bonjour. Je cherche a calculer la limite:

limite lorsque x tend vers 1 de: (1+cos(pi*x))/(sin(pi*x))^2

La réponse est 1/2 mais c'est pas ce que je trouve.

Je fais un changement de variables : y=x-1

J'ai alors:

limite lorsque y tend vers 0 de: (1+cos(pi*(y+1)))/(sin(pi*(y+1)))^2

Je fais les développents limités, je trouve :

limite lorsque y tend vers 0 de: (1+1+O(y^2))/(pi*y+pi+O(y^3))^2

c'est donc:

limite lorsque y tend vers 0 de : (2+O(y^2))/((pi*y)^2+pi^2+2y*pi^2+O(y^3))


ce qui donne 2/(pi^2)

est-ce que quelqu'un voit le problème?

Merci d'avance
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[invite51d17075]

Bonjour. Je cherche a calculer la limite:

limite lorsque x tend vers 1 de: (1+cos(pi*x))/(sin(pi*x))^2

La réponse est 1/2 mais c'est pas ce que je trouve.

Je fais un changement de variables : y=x-1

J'ai alors:

limite lorsque y tend vers 0 de: (1+cos(pi*(y+1)))/(sin(pi*(y+1)))^2

Je fais les développents limités, je trouve :

limite lorsque y tend vers 0 de: (1+1+O(y^2))/(pi*y+pi+O(y^3))^2
c'est donc:

limite lorsque y tend vers 0 de : (2+O(y^2))/((pi*y)^2+pi^2+2y*pi^2+O(y^3))


ce qui donne 2/(pi^2)

est-ce que quelqu'un voit le problème?

Merci d'avance

le problème, c'est qu'il y a des erreurs à chaque ligne !
par exemple cos(pi) vaut -1 et pas 1
sin(pi) ne vaut pas pi mais 0.
l'écriture des dev limités est fausse aussi.
en fait tu as une indetermination du type 0/0 donc il faut pousser le developement limité un cran plus loin.( au numérateur et au dé"nominateur
et peut être faire un changement de variable différent

[invite0731164c]

Ah je pense avoir compris : pour le DL j'ai évalué dans le mauvais point car sin(pi*(y+1)) tend vers pi lorsque y tend vers 0 (c'est con, enfin relativement)

Merci d'avoir répondu

Au fait,p
i)pourquoi pour trouver les point d'inflexions il faut résoudre f'''(x)=0
ii)et pourquoi si f''(x1)=0 et f'''(x1) non 0 alors f admet un point d'inflexion en x1
iii)x0 et un point stationnaire si la dérifée de f s'annule ou si elle change de signe?

[invite0731164c]

euh le point i) c'est f''(x)=0

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite51d17075]

j'ai du mal à te comprendre.
pour le changement de variable , il me semble plus simple de prendre pi*x=pi+y avec y tendant vers 0
et d'appliquer sin(pi+y)=-sin(y) et
cos(pi+y)=-cos(y).
ensuite de faire les dev limités autour de 0 pour y.
f(y)=f(0)+y*f'(0)+f''(0)*y²/2!+ etc .... jusqu'à lever l'indetermination.