Fonction Dirac avec Fourier

[JulieF]

Bonjour, je voudrais juste savoir si qqqu pourrait m'expliquer ce que représente la fonction Dirac? Elle sort d'où? lol je vous remercie à l'avance.
A bientot!
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[Coincoin]

Salut,
Pourrais-tu préciser un peu la question, stp ?
Et quel est ton niveau : as-tu déjà vu la transformée de Fourier ? les distributions ?

[JulieF]

je suis en licence, j'ai deja vu la transformée de fourier ms je n'ai jms trop compris ce q mon prof racontait sur Dirac, je sais juste q c'est la fonction delta c'est tout

[Coincoin]

Ok...
Alors si on regarde par la transformée de Fourier, la fonction de Dirac, c'est la fonction dont la transformée de Fourier vaut 1 partout (enfin, y a peut-être un coefficient ou selon ta définition de la TF). Mais si tu essayes de calculer ce que ça donne, tu tombes sur un problème : la fonction vaut 0 partout sauf en 0 où elle est infinie. Il s'agit donc d'un pic infiniment fin, dont l'intégrale vaut 1.
Les physiciens se contentent généralement de cette définition, mais mathématiquement c'est un peu une aberration. Donc au milieu du XXe siècle, un mathématicien français a développé la théorie des distributions pour formaliser un peu ça.

[A voir en vidéo sur Futura]

[JulieF]

et pk l'integrale vaut 1 si le pic est infiniment fin?

[C.B.]

et pk l'integrale vaut 1 si le pic est infiniment fin?

Le pic est infini, et l'intégrale a été fixée par définition à un.
On peut avoir une "fonction" (ce n'est pas une vraie fonction) qui ressemble à dirac avec une intégrale de 2 : il suffit de prendre la fonction de dirac multipliée par 2.

[Coincoin]

Parce qu'il est à la fois infiniment fin et infiniment haut. Donc tu te retrouves avec 0 fois l'infini en quelque sorte...

Par exemple, si tu prends f₀ une gaussienne unitaire (c'est-à-dire d'intégrale 1) et centrée, et que tu défnis une suite f_n telle que f_n+1(x)=n f_n(nx), tu peux voir que chaque f_n est d'intégrale 1. Et plus n augmente plus le pic est haut (la hauteur varie comme n) et fin (la largeur varie comme 1/n). Si tu fais tendre n vers l'infini, tu tombes sur un pic de Dirac (au détail près que mathématiquement la suite ne converge pas, mais bon c'est pas grave )

[rna]

Bonjour,
Une façon simple de définir l'impulsion de Dirac est celle-ci:

On prend un rectangle de longueur a et de hauteur 1/a. La surface de ce rectangle est donc 1. On obtient l'impulsion de Dirac en faisant tendre a vers 0. On a ainsi une impulsion infiniment fine et infiniment haute dont l'intégrale vaut 1.

Cordialement.

[Gordak]

Bonjour,
Je relance la discussion au sujet des distributions tempérées.
Îl y a une chose que je n'ai pas comprise:
Que vaut la TF de la fonction de Dirac ?

On a démontré en cours que la TF de δa est la distribution associée à la fonction CCL : x --> exp (-iax)/ sqrt(2*pi).

Mais plus tard dans le cours, on utilise la relation suivante:
Fourrier[ exp(iax) ] = sqrt(2*pi) * δa.

Il y a donc un poblème de signe, mais je ne comprends pas pourquoi.

J'espère que vous pourrez décripter tout ça ^^