problème d'intégrabilité

[invite06a166f3]

Bonjour, on me demande de prouver l'existence d'une intégrale puis de la calculer mais y'a pas moyen, je n'y arrive pas !



Si vous aviez une idée je suis preneur !
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[invitec3143530]

En intégrant par parties en posant u=x et v=ln(sinx) tu te ramènes à chercher la primitive de ln(sinx). pour cette dernière, tu fais le changement de variable u=sinx, pour avoir à intégrer lnu / rac(1-u²), enfin pour celle-ci tu fais le changement de variable u = sint et ce sera bon. Il y a peut-être plus rapide.

[breukin]

Sûr ?
Une primitive connue de ?
Faire un changement de variable suivi d'un changement de variable ?

[invite51d17075]

j'irai plutôt dans l'esquive!!
avec x=2y
on a intégrale (0,pi/2) : 4yln(2sin(y)cos(y))dy
on utilise ln(ab)=ln(a)+ln(b) on a
une integrale de y
deux intégrales symétriques entre 0 et pi/2 de y*ln(sin(y))dy et y*ln(cos(y))dy
mais je suis comme Linkounet, c'est une première réaction.
en fait je cherchais une ruse !!!

[A voir en vidéo sur Futura]

[albanxiii]

Bonjour,

Une primitive connue de ?

Pour celle-ci ou la fonction de départ, wolframalpha donne du polylogarithme... http://www.wolframalpha.com/input/?i...8sin%28x%29%29

Cela dit pour prouver l'existence d'une intégrale, il n'est pas forcément besoin de la calculer.

[invite57a1e779]

Le problème de l'existence de l'intégrale se règle par un petit équivalent de au voisinage de .
Pour la calculer, on effectue le changement de variable , d'où :



dont on déduit : , et cette dernière intégrale se calcule par les techniques préconisées par ansset dans le message #4.

[breukin]

Personnellement, je trouve plus agréable de réduire l'intégrale pour profiter de la symétrie du sinus, mais c'est pareil :

Et je trouve qu'ensuite, c'est plus agréable de calculer l'intégrale suivante en ayant réduit les bornes :


D'où et

[invite51d17075]

si tu me relis breukin justement, j'essaye de passer très vite entre 0 et pi/2.
dès la première ligne
et le ln(2) sort après très vite.
après faut tricoter un peu .

[invite51d17075]

en fait les 3 approches ( included God's Breath ) sont très similaires dans l'esprit