Bonjour, on me demande de prouver l'existence d'une intégrale puis de la calculer mais y'a pas moyen, je n'y arrive pas !
Si vous aviez une idée je suis preneur !
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18/01/2012, 15h01
#2
invitec3143530
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Re : problème d'intégrabilité
En intégrant par parties en posant u=x et v=ln(sinx) tu te ramènes à chercher la primitive de ln(sinx). pour cette dernière, tu fais le changement de variable u=sinx, pour avoir à intégrer lnu / rac(1-u²), enfin pour celle-ci tu fais le changement de variable u = sint et ce sera bon. Il y a peut-être plus rapide.
18/01/2012, 17h05
#3
breukin
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Re : problème d'intégrabilité
Sûr ?
Une primitive connue de ?
Faire un changement de variable suivi d'un changement de variable ?
18/01/2012, 17h05
#4
ansset
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Re : problème d'intégrabilité
j'irai plutôt dans l'esquive!!
avec x=2y
on a intégrale (0,pi/2) : 4yln(2sin(y)cos(y))dy
on utilise ln(ab)=ln(a)+ln(b) on a
une integrale de y
deux intégrales symétriques entre 0 et pi/2 de y*ln(sin(y))dy et y*ln(cos(y))dy
mais je suis comme Linkounet, c'est une première réaction.
en fait je cherchais une ruse !!!
Cela dit pour prouver l'existence d'une intégrale, il n'est pas forcément besoin de la calculer.
Not only is it not right, it's not even wrong!
18/01/2012, 21h24
#6
invite57a1e779
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Re : problème d'intégrabilité
Le problème de l'existence de l'intégrale se règle par un petit équivalent de au voisinage de .
Pour la calculer, on effectue le changement de variable , d'où :
dont on déduit : , et cette dernière intégrale se calcule par les techniques préconisées par ansset dans le message #4.
19/01/2012, 07h30
#7
breukin
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Re : problème d'intégrabilité
Personnellement, je trouve plus agréable de réduire l'intégrale pour profiter de la symétrie du sinus, mais c'est pareil :
Et je trouve qu'ensuite, c'est plus agréable de calculer l'intégrale suivante en ayant réduit les bornes :
D'où et
19/01/2012, 13h43
#8
ansset
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Re : problème d'intégrabilité
si tu me relis breukin justement, j'essaye de passer très vite entre 0 et pi/2.
dès la première ligne
et le ln(2) sort après très vite.
après faut tricoter un peu .
19/01/2012, 14h06
#9
ansset
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Re : problème d'intégrabilité
en fait les 3 approches ( included God's Breath ) sont très similaires dans l'esprit
Dernière modification par ansset ; 19/01/2012 à 14h08.