Intégrale

[math123]

Bonjour,

Voila je bloque pour calculer l'intégrale suivante:


Pour l'existence j'ai dit que l'application est continue sur [0,] donc continue par morceaux sur [0,] et ainsi l'intégrale existe. Après pour le calcul de l'intégrale j'ai essayé d'utiliser les règles de Bioche mais rien de très concluant. Quelqu'un aurait une idée ?
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[invite3ce72bf9]

même en posant x=tan(t) ?

[Tiky]

Bonjour,

Les règles de Bioche fonctionnent pourtant ici. Si tu poses . Alors
Donc d'après les règles de Bioche, il faut faire le changement de variable

[math123]

Oui c'est ce à quoi j'ai pensé mais le problème arrive en Pi/2

[A voir en vidéo sur Futura]

[Tiky]

Tu découpes l'intégrale en deux parties :


Tu poses . Par exemple pour la première intégrale, tu obtiens que :

[math123]

Ok, en fait ma prof nous a laissé un petit indice elle nous a dit de remarquer que l'intégrale dont je parle est égale à 2*cette intégrale entre 0 et Pi/2 pour des raisons de parité. du coup il me reste plus qu'à calculer ta dernière intégrale si j'ai bien compris ?

[Tiky]

Oui, exactement.

[math123]

Merci, par contre je dois justifier en plus infini l'existence de l'intégrale ?

[Tiky]

Tu peux dire que la fonction tangente est un C1-difféomorphisme de vers . Comme ton intégrale de départ converge(c'est une bonne vieille intégrale de Riemann),
celle obtenue après changement de variable aussi. Ce qui est important c'est surtout l'égalité. L'intégrale généralisée converge trivialement puisqu'on peut déterminer une primitive et passer à la limite.

[math123]

Merci de tes explications, par contre le fait de justifier l'existence de l'intégrale au début ne suffit pas alors ?

[Tiky]

Il faut surtout justifier la validité du changement de variable. L'existence de la seconde intégrale est obtenue automatiquement par le théorème de changement de variable.