Groupes, Sous groupes
Bonjour,
Je voudrais avoir un coup de main dans cet exercice d'Algèbre:
Soit (G,.) un groupe non commutatif, on définit le centre de G par:
C(G)= { a appartient à G ; quelque soit x appartient à G , ax = xa }
- Montrer que (C(G), .) est un sous groupe de (G, .)
Merci d'avance pour votre aide
le cas généraleour mq un sous groupe est un groupe il faut mq l'élément neutre e apartient a ce SG
et mq quelque soit(qq st) x et y appartient(app) a SG x-1app a SG et x(loi)y app a SG
le cas de votre exercice :
qq st x app G x.e=e.x donc e app C
qq st x app C donc x . a=a . x ;qqst a app G
(x . a)-1 = (a . x)-1 ;qqst a app G
a-1 .x-1 = x-1 . a-1 ;qqst a app G(donc y-1 app G) donc (x-1 app C)
donc je t'ai aider pr la moitié je vous laisse le reste essaye toi méme et si tu bloque dit le moi je te done le reste et bonne chance
Hyperjoujou, ton message, bien qu’intéressant n'est pas super lisible (voire même franchement imbuvable ^^). La forme est, mine de rien, fondamentale quand on cherche à expliquer quelque chose, et il est donc important d'essayer d'être le plus lisible et clair possible.
Sinon Niobium, pour montrer que quelque chose est un sous groupe, c'est toujours la même idée. Il faut montrer :
a) Que cet ensemble est non vide (généralement on montre qu'il contient le neutre, mais n'importe quel élément suffit)
b) Que cet ensemble est stable par la loi du groupe
c) Que cet ensemble est stable par inverse
Dit autrement :
est un sous groupe de
a)
b)
c)
Dans ton exemple ici, il faut écrire clairement ce que ça veut dire, et quelques manipulations très simples suffisent (pour le petit a c'est évident avec le neutre)
ca c'est vrai ta raison le message n' était pas trop clair je suis désolé je essayer de réécrire clairement .
Montrer que (C(G), .) est un sous groupe de (G, .)
On pose S = C(G)
S est un sous groupe de (G, .)
a) S≠ ∅
b) ∀ aϵS ,on veut montrer que a^(-1)〖ϵ S〗
ona ∀aϵS a.b=b.a ; ∀bϵG
(a.b)^(-1)=(b.a)^(-1) ; ∀bϵG
b^(-1).a^(-1)=a^(-1).b^(-1) ; ∀bϵG (donc b^(-1) ϵG)
donc on a a^(-1)ϵ S
