calcul de residus

[invite317470b8]

Bonjour les matheux!
le calcule de residus me pose probléme et j'ai besoin d'aide !
je n'arrive pas à cacluler le résidus de l'integrale suivante:
integrale de 0=>+OO dx/((x^n)+1)
dans mon exercice ils ont meme préciser le contour formé par la courbe suivaante Cn:
tel que Cn formée par le segment [0,R] de l'axe réel positif,l'arc représenté par z=Rei(teta), avec teta de [O,2Pi/n],et le segment représenté par Z=re(2iPi/n), r de [R,0]
le résultat de cette intégrale vaut (PI/n)/sin(PI/n) mais je ne sais pas comment peut-on aboutir a ce résultat:
je sais qu'il faut faire une intération tout au long du contour Cn on posant des changement de variable mais cela ne donne rien!
SVP queslqu'un pourait m'aider????
MErci
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[invite57a1e779]

Je ne vois pas où est le problème ; tu connais le contour et une représentation paramétrique pour chacun des sous-arcs du contour :

[invite317470b8]

ouiii en effet le problème n'est pas là!
d'abord pour calculer cette intégrale il faut procéder en deux temps:
-d'abord calculer le résidus Res(f,zo)
-puis calculer l'intégrale tout au long du contour pr faire ressortir notre ingéral I en fonction de x (c'est pour cela qu'on doit absolument passer par le contour)
ma première question: je trouve le résidus zo=e(i(PI+2kPI)/n) je ne sais pas si c'est just pour n (dans le cas d'un n=4 c'est facile on trouve 4 pole, dans n on va avoir n pole? quel est le pole qui est à l'intérieur du contour alors?)
puis esque dans la paramétrisation qu'on on tend R vers l'infini esque les 2 dernière intégrale s'annulent? (on obtiendra alors: integral(f(z)dz)=Ingergale(dx/((x^n)+1 )
voilà et merciii encoree

[invite57a1e779]

quel est le pole qui est à l'intérieur du contour alors?

Les pôles sont les racines du polynôme zⁿ+1, il est facile de connaître leurs arguments, et de déterminer celui qui est entouré par le contour d'intégration.

puis esque dans la paramétrisation qu'on on tend R vers l'infini esque les 2 dernière intégrale s'annulent?

Non, mais la troisième intégrale est facile à calculer.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite317470b8]

ç'a doit etre facile,
est-ce-que le pole zo=e(i(PI+2kPI)/n) est juste? je ne sais toujours pas quel valeur donner à k

[invite317470b8]

quelq'un pourrais m'aider SVP ????

[invite317470b8]

god's breath SVP comment je pourrais calculer la limite de cette intégrale cé le petit morceaux de puzzle pr que j'arrive à calculer mon intergrale !SVP!!!!

[invite57a1e779]

Quelle est la valeur de ?

As-tu fait un dessin du plan complexe en plaçant le polygone régulier formé par les pôles de et le contour d'intégration afin de déterminer quels sont les pôles à prendre en considération pour le calcul de ?