Analyse complexe, calcul de résidus

[invitead88f3c2]

bonsoir

J'ai un petit problème d'étude d'une fonction en analyse complexe
ma fonction f(z) = e^(-a/z) / (1+z)²

f admet un pôle d'ordre 2 en - 1 et une singularité en 0.
Pour - 1 pas de problème, on utilise la formule pour calculer le résidu de f d'un pôle d'ordre 2.
Par contre pour 0 je ne comprend pas bien ce que mon prof a fait. En 0 on a une singularité essentielle. Il a exprimé e^(-a/z) et 1/(1+z)² en série de Laurent en 0 ( 1/(1+z)² pouvant se réduire à une série de Taylor en 0 puisque il n'y a pas de singularité en 0).





Ce qui me parait flou déjà c'est qu' il a écrit la série de taylor de e^(-a/z) mais pas la série de laurent.

Ensuite il fait une combinaison des 2 séries pour trouver le résidu en 0, ça me parait flou et j'ai pas de formules dans mon cours pour calculer le résidu d'une fonction en un point singulier essentiel.




merci
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[invite0fa82544]

Le résidu en 0 est le coefficient de dans le développement de Laurent de la fonction centré en . On a , d'où le développement de Laurent de :

Le développement de Laurent de est :

On multiplie les deux séries et on obtient ainsi le coefficient de , qui est le résidu cherché.

[invitead88f3c2]

si je multiplie les 2 séries j'obtiens , comment j'en déduit le coef de z^-1 dans la série de laurent ?. et mon prof écrit Res(f,0) comme le produit des 2 séries de laurent

Je comprend pas trop, faudrait m'expliquer vraiment pas à pas car c'est pas clair du tout dans mon esprit

ps: on voit pas très bien mais dans l'expression c'est (-1) ^ (n+1)

[invite0fa82544]

La multiplication des deux séries donne la série double :
.
Il faut trouver le coefficient de , qui peut s'obtenir par un simple changement de variables sur les indices (), ou par un filtrage avec le symbole de Kronecker :

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitead88f3c2]

merci, je crois avoir compris