Petit défi d'algèbre

[Seirios]

Bonsoir à tous,


Je vous propose le problème suivant :

Soit un groupe fini. On note la probabilité de tirer au hasard un couple d'éléments qui commutent (on choisit bien sûr la probabilité uniforme sur ). D'une certaine manière, mesure le degré de commutativité de .

Si est de cardinal , avec un nombre premier, que vaut ?
Existe-t-il un groupe tel que ?

Je précise qu'il n'y aucune connaissance particulière à avoir sur les probabilités, ce sont vraiment des résultats d'algèbre.

On peut se poser pas mal de questions sur cette notion, je donnerai une référence sur le sujet à la fin de la discussion.


Seirios
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[invitef98b9ea8]

je croi quand utilise le théorème suivant :
si G un groupe fini et H sous groupe .
l'ordre de H dévise l'ordre de G(l'ordre de A= cardinal(A))

[invite2e5fadca]

Sur un exemple pour commencer : p=2
Si G est abélien, on a P(G)=1.
Si G est le groupe quaternionien, on a
P(G)= 2/8*1 +6/8 * 4/8 = 40/64 = 5/8
Si G est le groupe diédral d'ordre 8, on a
P(G)= 2/8*1 + 2/8*4/8 + 2/8*4/8 + 2/8*4/8= 40/64 = 5/8

Je réfléchirai au cas général demain, il est un peu tard.

[invitea07f6506]

Ca a l'air amusant, comme problème.

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Si est abélien, il n'y a rien à faire : . Supposons que , d'ordre , est non abélien. Alors le centre est d'ordre , et le sous-groupe dérivé est égal au centre, et donc est lui aussi d'ordre . Par conséquent, un commutateur commute avec tout élément du groupe.

Soit un élément du groupe. Considérons l'application de dans lui-même. Soient et dans . On calcule :



Toutes les applications sont donc des endomorphismes de . De plus, l'ensemble des éléments qui commutent avec est le noyau de . Si est dans le centre, est de cardinal . Sinon, est un sous-groupe de qui contient , mais aussi : il est donc de cardinal au moins , et au plus ( serait dans le centre si ce sous-groupe était de cardinal ). Il est donc nécessairement de cardinal . En résumé, il y a dans G:
* éléments qui commutent avec tout le monde (soit éléments);
* le reste (soit éléments) qui commute avec éléments chacun.
Le nombre de couples de qui commutent est donc , ou encore :

On retrouve en particulier que, si alors vaut ou . J'espère ne pas m'être planté, parce que moi et l'algèbre

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea07f6506]

Je vais vraiment chercher compliqué (quand je dis que je suis une buse en algèbre...).

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Pour un élément de , notons l'ensemble des éléments de qui commutent avec . Alors, pour tout , l'ensemble est un sous-groupe de . En effet, l'élément neutre appartient à . De plus, si et sont dans , alors , donc appartient à . Le groupe étant fini, cela suffit pour montrer que est un sous-groupe de . En particulier, si alors vaut ,, ou . Comme je l'ai montré dans mon précédent message, si est dans le centre alors , et sinon .

Si est non commutatif, alors son centre est de cardinal . L'argument de mon précédent message permet de montrer que:



L'avantage, c'est que maintenant je peux répondre à la deuxième question. Soit un groupe non commutatif. Soient les plus petits facteurs premiers de ( si est de multiplicité au moins ). Soit un élément de . Si est dans le centre alors , et sinon est un sous-groupe propre de , et donc . On a donc :



Le groupe étant non commutatif, est un sous-groupe propre de , et en particulier . Mais en fait, si alors est un groupe cyclique, et on montre que est abélien (c'est le même argument qui montre que n'est pas de cardinal dans un groupe non commutatif de cardinal ). Donc , et :



Le membre de droite est un fonction décroissante de . A fixé, elle est donc maximale pour , et vaut alors . Cette dernière expression est une fonction décroissante de , et est donc maximale en . Donc, si est un groupe fini non commutatif,

[invite2e5fadca]

Pour ma part, je n'ai pas vu de fautes. Très jolie démonstration.

[Seirios]

Je trouve également la démonstration correcte.

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Une autre possibilité est d'exprimer sous une forme différente : Je reprends ton égalité avec . Or où est la classe de conjugaison de . On a donc , en notant le nombre de classes de conjugaison de .

On trouve alors un résultat intéressant : Pour calculer , il faut et il suffit de connaître le nombre de classes de conjugaison de . Ce n'est pas toujours évident de répondre à cette question, par exemple on ne dispose pas d'une expression simple de ce nombre pour le groupe symétrique. Mais cela permet d'introduire deux formules à partir desquelles on peut montrer pas mal de petites propriétés :

La première n'est autre que la formule des classes : .

Elle permet notamment de répondre aux deux questions que j'ai posées :

Soit un groupe d'ordre (avec premier). Si est abélien, . Sinon, . De plus, si n'est pas dans le centre, alors où les inclusions sont strictes, donc . La formule des classes implique alors que , d'où .

Ensuite, si est un groupe non abélien, tout élément qui n'est pas dans le centre vérifie , donc en utilisant la formule des classes : , ie . Or ne peut pas être cyclique, sans quoi serait abélien, donc . On trouve finalement que .

La seconde formule utilise la théorie des représentations : Si sont les degrés des représentations irréductibles de , alors , où est le sous-groupe des commutateurs.

Comme corollaire amusant, j'ai trouvé ceci :

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On sait que si est un groupe d'ordre , alors où les sont les degrés des représentations irréductibles de . De plus, les divisent . On peut se demander si réciproquement, si l'on dispose d'une écriture , où les divisent , l'on peut trouver un groupe dont les représentations irréductibles ont pour degré les .

Si c'était le cas, on aurait alors . Pour trouver un contre-exemple, il suffit donc de s'arranger pour avoir . C'est le cas pour .

Comme les réponses ont été trouvées rapidement, je vais voir si je peux trouver une ou deux propriétés supplémentaires qui soient intéressantes.

[invite2e5fadca]

C'est joli, mais on connait les groupes d'ordres 10 et leur table, donc je pense qu'on pouvait conclure comme cela aussi. ^^

[Seirios]

J'ai trouvé une dernière question qui complète la précédente (et qui ne devient plus facile à trouver une fois que l'on répondu aux deux précédentes) : Donner une condition nécessaire et suffisante sur pour que .

[invitea07f6506]

S'il y a une condition nécessaire et suffisante sur pour que , c'est forcément " est isomorphe au groupe de Klein ". Il est facile de voire que c'est une condition nécessaire : d'après ma (deuxième) preuve, implique que , et donc que . Or ne peut pas être cyclique, donc il ne reste qu'une possibilité : qu'il soit isomorphe au groupe de Klein.

Reste à prouver la réciproque. Je pense voir comment faire, mais je préfère laisser la main à quelqu'un d'autre, ou au moins me laisser un peu de temps pour utiliser les outils de Seirios à la place des miens.

Ah, une question, au passage : est-ce que est la plus petite valeur de pour laquelle on peut trouver une décomposition de en carrés qui ne corresponde à aucune représentation ?

[Seirios]

S'il y a une condition nécessaire et suffisante sur pour que , c'est forcément " est isomorphe au groupe de Klein ". Il est facile de voire que c'est une condition nécessaire : d'après ma (deuxième) preuve, implique que , et donc que . Or ne peut pas être cyclique, donc il ne reste qu'une possibilité : qu'il soit isomorphe au groupe de Klein.

Il s'agit bien de cette condition.

Ah, une question, au passage : est-ce que est la plus petite valeur de pour laquelle on peut trouver une décomposition de en carrés qui ne corresponde à aucune représentation ?

Oui. Les premiers groupes non abéliens sont d'ordre 6, 8 et 10. Or 6 se décompose de manière unique sous la forme d'une somme de carrés (si l'on ne tient pas compte de la somme de six 1, qui correspond au cas abélien), et les deux décompositions et de 8 correspondent respectivement au groupe diédral et au groupe des quaternions . Il ne reste donc plus que 10. Maintenant, comme le dit GogetaSS5, on connaît les groupes à ces ordres donc on n'est pas obligé d'utiliser l'argument que j'ai donné. Par exemple, on sait que le seul groupe non abélien d'ordre 10 est le groupe diédral , alors qu'il y a trois décompositions de 10 en somme de carrés (toujours sans compter le cas abélien).

[Seirios]

Je me corrige : En fait, la première décomposition en carrés qui ne correspond à aucune représentation est , puisqu'il y a toujours la représentation triviale qui est de dimension 1. Plus généralement, tout carré fournit un contre-exemple. Mais si l'on veut écarter ces cas triviaux on peut imposer à la décomposition de contenir au moins un 1, auquel le plus petit contre-exemple est bien 10.