[gros sujet] norme, produit scalaire, inegalité (vectoriel, fonctionnel,matriciel)

[invite9c7554e3]

salut tous,

je m'autoforme en math depuis un petit moment et j'essais de comprendre les choses que j'ai mis dans le titre et faire le lien entre ces choses. Pouvez vous m'aider s'il vous plait à faire le lien entre toutes ces notions en confirmant, rejetant, répondant ou complétant les affirmations ou questions que je vais mettre ci dessous ?
j'ai un cursus plutot physicien/mecanicien (vous le ressentirai surement dans mes questions) du coup j'ai une préférence pour les explications avec des exemples applicatifs

I°) tout d'abord la definition d'une norme et le cas des vecteurs :
I-1°) c'est quelque chose qui permet de mesurer une distance donc historiquement la première norme calculée est la norme d'un vecteur. Afin de respecter le theoreme de pythagore on a remarqué que la norme de est : autrement dit la somme quadratique des composantes.
I-2°) une norme respecte ; ssi
I-3°) il existe plusieurs type de norme 1,2 (celle ci du I-1), p et inf
=> la norme 1 est la somme des modules des composantes
=> la norme p est comme la norme 2 mais avec "p" à la place de 2
=> la norme infinie est le module de la plus grande composante
comment choisit on la norme que l'on va utiliser ? et pourquoi ne pas utiliser toujours la norme euclidienne ?
I-4°) les normes A et B sont équivalentes si (pouvez vous me montrer une norme qui ne respecte pas cette inegalité?) . par contre j'ai du mal à comprendre ce que l'on appel equivalente car pour moi equivalent voudrait dire que la distance que ces normes mesures est la même. Or si je veux mesurer la longueur d'un vecteur on voit très facilement que seul la norme 2 permet de mesurer la norme (distance) réelle entre l'origine et l'extremité du vecteur...
I-5°) si on projette le vecteur sur (ou vis versa) on a une grandeur qui peut etre soit positive soit negative car il s'agit de la composante de U dans la direction V or la composante peut être soit dans le sens <0 soit >0. On a c'est qui donne le signe de la composante.
Si on veut prendre la norme de cette projection on aura la distance : or comme la fonction cosinus renvoi toujours une grandeurs entre -1 et 1 alors on a
I-6°) il existe plusieurs inegalité fondamentale (pouvez vous me les citer s'il vous plait et me donner la demonstration ?). L'une d'elle est l'inegalité triangulaire :
(il y a un cas ou il y a egalité mais je n'ai pas compris dans quel cas et pourquoi...)
et une autre est mais je n'ai pas compris comment trouver ces relations à partir de tous ce que j'ai dis plus haut ...
I-7°) ces inegalités servent à quoi en pratique ? d'après ce que j'ai compris borner des valeurs de suites, series -> convergence d'algorithme ? pouvez vous me donner un exemple s'il vous plait concret ?
I-8°) on a aussi : on obtient ceci en développant
en replacement B par -B on et en sommant ou soustrayant ces relations on a encore deux relations importantes:
et
=> a quoi servent ces relations en generale ? comment pour le cas I-7°) pour demontrer des convergences.... ? avez vous un exemple svp ?
I-9°) si j'ai des composantes complexes tous ce que j'ai dis ci dessus est vrai ? il n'y a pas des conjugué à faire intervenir quelque part ???

II°) produit scalaire de fonction :

II-1°) absolument tous ce que j'ai dis si dessus est vrai pour un produit scalaire de fonction ?:

ça veut dire qu'il existe une sorte de theoreme de pythagore aussi pour les fonctions ?
que représente la norme d'une fonction? un vecteur c'est une distance mais une fonction? visuellement j'arrive pas à me représenter ceci...
II-2°) les bornes de ce produit scalaire ne sont pas toujours 0 et 1 (ça dépend de la fonction, par exemple pour cos et sin il s'agit de 0 et 2*PI) ? les bornes sont a choisir en fonction des fonctions afin que je produit scalaire existe (qu'il respect toutes les definitions d'un produit scalaire)
II-3°) un produit scalaire de fonction est la projection d'une fonction sur une autre fonction (je n'arrive pas trop à me représenter ceci, c'est pour decomposer une fonction compliquée par exemple en somme de fonction simples ?
II-4°) deux vecteurs orthogonaux sont deux vecteurs perpendiculaires, qu'es ce que représente deux fonctions orthogonales graphiquement/visuellement ?
II-5°) un produit scalaire de vecteur est valable dans tous l'espace vectoriel par contre pour des fonctions il n'est valable que dans un certaine partie de l'espace (les bornes de l'ntégrale)
II-6°) l'inégalité de Cauchy Swartz n'est rien d'autre que la généralisation de I-5°) ? es ce demontrable facilement comme relation ?

II-7°) les produit scalaire de fonction sont rencontrés dans des espaces de fonctions (quel est leurs nom à ces espaces?) mais apparemment dans des espaces vectoriel où les composantes des vecteurs sont réelles (espace euclidien?); ça c'est bizarre car à priori dans des espaces vectoriels on manipule des elements de base qui sont des vecteurs et pas des fonctions ....


II-8°) si toutes les inegalité que j'ai montré plus haut sont toujours vrai pourvez vous me donner 2-3 exemples d'utilisation pratique ?

III°) cas des matrices ?

III-1°) le produit scalaire de matrice existe t il ? il ne s'agit pas du produit matriciel puisque celui ci n'est pas commutatif...
III-2°) si il n'existe pas comment déterminer la norme d'une matrice ? que représente visuellement, graphiquement ce type de norme
III-3°) apparemment il existe un lien entre valeurs propres et norme de matrice quel est ce lien, comment le démontrer ?
III-4°) il y a t il des choses/relations particulieres pour les matrices orthogonales ou sysmetrique ou diagonales... ?
III-5°) un algorithme ne peux converger que si dans la relation si dessous est inférieur ou egale à 1 ( est la plus grande valeure propre du systeme)

pouvez vous m'expliquez d'où vient cette relation s'il vous plait et pourquoi on ne peux pas converger si on est superieur à 1.

je suis conscient que ça fait pas mal de questions mais je pense que ça pourrais être une sujet de référence sur le forum qui peut servir à tous ceux qui se pose des questions sur les normes, lien entre espaces vectoriels, fonctionnel... De plus les aspects pratiques pourrais être très intéressant pour bien comprendre.

j'espère que vous pourrez m'aider, merci d'avance
-----

[invite3ce72bf9]

Bonjour,

Je suis loin d'être expert, juste quelques remarques car le sujet est long.

tu n'es pas obligé d'avoir un produit scalaire pour définir une norme. En revanche, quand tu disposes d'un produit scalaire tu peux définir une norme à partir de lui.

Dans une espace vectoriel, à partir d'une norme N, on peut définir une distance d entre deux vecteurs d(A,B) = N(A-B). Mais il faut avoir une structure d'espace vectoriel.

On veut que quand la norme d'un vecteur est nulle implique que le vecteur est nul, pour ce qui est des fonctions il faut faire attention car la norme d'une fonction peut être nulle alors que la fonction sera nulle seulement presque partout. Il faut avoir prit le soin de quotienter le tout pour la classe d'équivalence presque partout (en gros deux fonctions qui sont presque partout égales font parties de la même classe d'équivalence). Mais après il y a effectivement les mêmes outils. L'exemple le plus parlant est p-e celui en théorie de Fourier où l'égalité de Parseval peut être vue comme le théorème de Pythagore dans un espace Hilbertien.

MisterDa

[Médiat]

Bonjour

1) (pouvez vous me montrer une norme qui ne respecte pas cette inegalité?)

2) j'ai du mal à comprendre ce que l'on appel equivalente car pour moi equivalent voudrait dire que la distance que ces normes mesures est la même.

3) Or si je veux mesurer la longueur d'un vecteur on voit très facilement que seul la norme 2 permet de mesurer la norme (distance) réelle entre l'origine et l'extremité du vecteur

1) Dans un espace vectoriel fini toutes les normes sont équivalentes
2) Des normes équivalentes ne donnent pas forcément les mêmes mesures (mais la même topologie)
3) Attention, il n'y a pas norme plus réelle qu'une autre (ce que je comprends comme "vraie distance"). Par exemple si vous vous promenez dans une ville découpée en blocs (comme Manhattan, à Broadway près ), la Norme 2 ne vous est guère utile, puisque vous ne pouvez pas traverser les blocs d'immeubles en diagonale, par contre la norme 1 répond parfaitement au problème (d'ailleurs la distance associée est appelée distance Manhattan).

Bon courage

[invite829bf453]

I-6°) Il y a égalité dans le cas où tes deux vecteurs sont colinéaires

[A voir en vidéo sur Futura]

[Seirios]

Bonjour,

I-1°) c'est quelque chose qui permet de mesurer une distance

La norme est effectivement un outil assez naturel qui permet de mesurer les distances dans des espaces vectoriels (lorsque ce n'est plus le cas, l'on travaille avec des métriques, qui peuvent parfois avoir des propriétés bien différentes des espaces vectoriels normés).

I-2°) une norme respecte ; ssi
I-3°) il existe plusieurs type de norme 1,2 (celle ci du I-1), p et inf
=> la norme 1 est la somme des modules des composantes
=> la norme p est comme la norme 2 mais avec "p" à la place de 2
=> la norme infinie est le module de la plus grande composante

Attention aux valeurs absolues ! On a , (ce n'est pas obligatoire ici si p est pair) et .

comment choisit on la norme que l'on va utiliser ? et pourquoi ne pas utiliser toujours la norme euclidienne ?

Généralement, on travaille dans des espaces vectoriels de dimension finie, où toutes les normes sont équivalentes, donc on travaille avec celle qui nous arrange. La norme infinie est particulièrement utile pour les inégalités.

I-4°) les normes A et B sont équivalentes si (pouvez vous me montrer une norme qui ne respecte pas cette inegalité?) . par contre j'ai du mal à comprendre ce que l'on appel equivalente car pour moi equivalent voudrait dire que la distance que ces normes mesures est la même. Or si je veux mesurer la longueur d'un vecteur on voit très facilement que seul la norme 2 permet de mesurer la norme (distance) réelle entre l'origine et l'extremité du vecteur...

Ce qui nous intéresse, ce n'est pas tellement la mesure de la distance par elle-même, mais savoir si deux points sont "proches". Pour cela, on regarde les boules c'est-à-dire l'ensemble des points à une distance d'un point fixé inférieure à une valeur donnée. Alors l'inégalité veut dire que toute boule de est contenue et contient une boule de .
Un bon exercice peut être de tracer quelques boules pour les normes 1, 2, et infini.

I-6°) il existe plusieurs inegalité fondamentale (pouvez vous me les citer s'il vous plait et me donner la demonstration ?). L'une d'elle est l'inegalité triangulaire :
(il y a un cas ou il y a egalité mais je n'ai pas compris dans quel cas et pourquoi...)
et une autre est mais je n'ai pas compris comment trouver ces relations à partir de tous ce que j'ai dis plus haut ...

Pour la première question, essaie de faire un dessin, ce devrait être plus clair.
Pour la seconde, on a d'où . De même, on montre que , d'où l'inégalité dite triangulaire inversée.

I-8°) on a aussi : on obtient ceci en développant
en replacement B par -B on et en sommant ou soustrayant ces relations on a encore deux relations importantes:
et
=> a quoi servent ces relations en generale ? comment pour le cas I-7°) pour demontrer des convergences.... ? avez vous un exemple svp ?

Ces égalités donnent des expressions qui permettent de passer du produit scalaire aux normes, et réciproquement. En pratique, cela permet d'utiliser au mieux les données : produits scalaires ou normes.

I-9°) si j'ai des composantes complexes tous ce que j'ai dis ci dessus est vrai ? il n'y a pas des conjugué à faire intervenir quelque part ???

C'est un peu différent lorsque le corps de base est le corps des complexes. Tu peux regarder du côté des espaces préhilibertiens complexes.

II-1°) absolument tous ce que j'ai dis si dessus est vrai pour un produit scalaire de fonction ?:

ça veut dire qu'il existe une sorte de theoreme de pythagore aussi pour les fonctions ?
que représente la norme d'une fonction? un vecteur c'est une distance mais une fonction? visuellement j'arrive pas à me représenter ceci...

Ce que tu as dis précédemment est vrai dans tout espace préhilbertien réel (sauf pour les expressions des normes, qui n'ont un sens qu'en dimension finie), donc en particulier les espaces des fonctions de carré sommable vérifient ces propriétés. Comme l'on travaille en dimension infinie, cela peut être plus difficile à se représenter. Les normes ne sont également plus toutes équivalentes : tu peux regarder les normes et (dans des espaces où ces expressions ont un sens).
La norme infini est plus facile à représenter. Pour les autres, en interprétant l'intégrale d'une fonction positive comme l'aire sous la courbe, on peut dire que plus la norme est grande plus la courbe est éloignée de l'axe des abscisses.

II-3°) un produit scalaire de fonction est la projection d'une fonction sur une autre fonction (je n'arrive pas trop à me représenter ceci, c'est pour decomposer une fonction compliquée par exemple en somme de fonction simples ?
II-4°) deux vecteurs orthogonaux sont deux vecteurs perpendiculaires, qu'es ce que représente deux fonctions orthogonales graphiquement/visuellement ?

Tu devrais faire quelques dessins avec des fonctions simples.

II-5°) un produit scalaire de vecteur est valable dans tous l'espace vectoriel par contre pour des fonctions il n'est valable que dans un certaine partie de l'espace (les bornes de l'ntégrale)

Je ne vois pas trop le sens de cette phrase...

II-6°) l'inégalité de Cauchy Swartz n'est rien d'autre que la généralisation de I-5°) ? es ce demontrable facilement comme relation ?

Tout à fait. Pour la démontrer, on se donne deux vecteurs u et v. Alors . Or en développant, on obtient un trinôme en : . Donc son discriminant est négatif, ce qui donne l'inégalité de Cauchy-Schwartz.

II-7°) les produit scalaire de fonction sont rencontrés dans des espaces de fonctions (quel est leurs nom à ces espaces?) mais apparemment dans des espaces vectoriel où les composantes des vecteurs sont réelles (espace euclidien?); ça c'est bizarre car à priori dans des espaces vectoriels on manipule des elements de base qui sont des vecteurs et pas des fonctions ....

Cela dépend comment l'on définit les vecteurs. Pour moi, les vecteurs sont les éléments d'un espace vectoriel, donc des fonctions peuvent être des vecteurs

III-1°) le produit scalaire de matrice existe t il ? il ne s'agit pas du produit matriciel puisque celui ci n'est pas commutatif...

Un exemple de produit scalaire est . Il me semble qu'il y a un résultat qui montre que tout produit scalaire est d'une forme approchante.

III-4°) il y a t il des choses/relations particulieres pour les matrices orthogonales ou sysmetrique ou diagonales... ?

Il y a de telles relations, on les retrouve principalement dans des problèmes, pas tellement dans les cours. Mais je n'en ai pas vraiment en tête, il faudrait que je cherche un peu.

III-5°) un algorithme ne peux converger que si dans la relation si dessous est inférieur ou egale à 1 ( est la plus grande valeure propre du systeme)

pouvez vous m'expliquez d'où vient cette relation s'il vous plait et pourquoi on ne peux pas converger si on est superieur à 1.

Que représente ?

[invite9c7554e3]

bonjour et merci tous d'avoir répondu !!!

je vais repondre à tous les messages precedent celui de Seiros et je repondrais à ce dernier ensuite car il est plus long

On veut que quand la norme d'un vecteur est nulle implique que le vecteur est nul, pour ce qui est des fonctions il faut faire attention car la norme d'une fonction peut être nulle alors que la fonction sera nulle seulement presque partout.

=> j'au du mal à comprendre qu'es ce que la norme d'une fonction.... la norme d'un vecteur ça représente une distance mais la norme d'une fonction je n'arrive pas à me le représenter...
=> j'ai du mal à comprendre comment une norme peut être nulle sans que ce qui le compose est nul.... si je fais le parallele avec les vecteurs : en gros la distance (norme de la fonction) serait nul mais avoir necessairement des compostantes nulles

Il faut avoir prit le soin de quotienter le tout pour la classe d'équivalence presque partout (en gros deux fonctions qui sont presque partout égales font parties de la même classe d'équivalence). Mais après il y a effectivement les mêmes outils.

=> je n'ai pas compris ce passage... que veut dire quotienter (diviser ?) je n'ai pas compris ce que tu voulais dire.

Mais après il y a effectivement les mêmes outils. L'exemple le plus parlant est p-e celui en théorie de Fourier où l'égalité de Parseval peut être vue comme le théorème de Pythagore dans un espace Hilbertien.

=> Pour l'égalité de parceval, je ne me rappel plus comment on l'obtient du coup je ne me rappel pas trop...

1) Dans un espace vectoriel fini toutes les normes sont équivalentes
2) Des normes équivalentes ne donnent pas forcément les mêmes mesures (mais la même topologie)

=> 1°) je ne comprends pas vraiment cette notion d’équivalence car comme tu le dis dans 2°) ces normes ne donnent pas les mêmes mesures... du coup qu'entend t on par equivalent ? pour moi equivalent veux dire "egale, equivalent..." ?
=> de meme, je ne comprends pas la différence entre "mesure" et "topologie"

3) Attention, il n'y a pas norme plus réelle qu'une autre (ce que je comprends comme "vraie distance"). Par exemple si vous vous promenez dans une ville découpée en blocs (comme Manhattan, à Broadway près ), la Norme 2 ne vous est guère utile, puisque vous ne pouvez pas traverser les blocs d'immeubles en diagonale, par contre la norme 1 répond parfaitement au problème (d'ailleurs la distance associée est appelée distance Manhattan).

=> d'accord je comprends ce que tu veux dire, mais si tu additionnes toutes les normes 2 de tous les petits deplacement effectué tu arrivera bien sur la bonne distance.
=> par contre l'inverse n'est pas vrai : si tu prends un vecteur quelconque, la norme 1 (somme des composantes) ne donnera pas la vrai distance...

I-6°) Il y a égalité dans le cas où tes deux vecteurs sont colinéaires

OK merci

[invite9c7554e3]

salut Seiros et merci pour ta réponse très complète, je vais repondre points pas points comme avec les autres messages:

La norme est effectivement un outil assez naturel qui permet de mesurer les distances dans des espaces vectoriels (lorsque ce n'est plus le cas, l'on travaille avec des métriques, qui peuvent parfois avoir des propriétés bien différentes des espaces vectoriels normés).

=> OK. par contre je ne comprends qu'es ce qu'une métrique : 1°) si ce n'est pas dans les espaces vectoriels que l'on trouve ceci c'est dans quels espaces ?
=> 2°) qu'es ce ? l'equivalent d'une norme dans un autre espace ? 3°) dans la realité comment un peut se représenter ceci ?

Attention aux valeurs absolues ! On a , (ce n'est pas obligatoire ici si p est pair) et .

=> merci beaucoup pour cette correction (dans ma tete je les avais mis )

Généralement, on travaille dans des espaces vectoriels de dimension finie, où toutes les normes sont équivalentes, donc on travaille avec celle qui nous arrange. La norme infinie est particulièrement utile pour les inégalités.

=> je comprends que si des normes sont equivalentes ont peu utiliser celle que l'on veut (celle qui nous arrange) mais par contre je ne comprends pas qu'es ce que cette notion d'equivalenc=> e... comme je l'ai dis dans le message ci dessus pour moi equivalent voudrais dire que les normes donnent les même distance.
=> par exemple, si je prends un triangle ABC le coté AB à pour longueur mais si je prends la norme 1 je n'aurais pas la bonne longueur... pour moi ces normes ne sont pas equivalentes alors... je ne comprends vraiment pas ce que l'on appel equivalent

Ce qui nous intéresse, ce n'est pas tellement la mesure de la distance par elle-même, mais savoir si deux points sont "proches". Pour cela, on regarde les boules c'est-à-dire l'ensemble des points à une distance d'un point fixé inférieure à une valeur donnée. Alors l'inégalité veut dire que toute boule de est contenue et contient une boule de .
Un bon exercice peut être de tracer quelques boules pour les normes 1, 2, et infini.

=> d'accord, alors la norme n'est pas forcement une mesure de distance exacte plutôt une evaluation de distance ?
=> seul la norme 2 permet d'avoir la mesure exacte mais les autres permettent d'avoir le bon ordre de grandeur pour comparer différentes geometries (topologie ??) ?
=> pour les boules, ce que tu veux dire (si j'ai bien compris ) c'est que les distances obtenues avec les différentes normes vont être un peu pret similaire, du meme ordre de gradneur ?

Pour la première question, essaie de faire un dessin, ce devrait être plus clair.

=> dans l'expression de l’inégalité triangulaire il s'agit bien de normes de vecteurs ? en fait ma question été bête
=> si je prends un triangle ABC la longueur AB alors elle est forcement inférieure à la somme des compostantes
=> . (sauf si le triangle est plat, on a egalité)

Pour la seconde, on a d'où . De même, on montre que , d'où l'inégalité dite triangulaire inversée.

=> super, j'ai bien compris

Ces égalités donnent des expressions qui permettent de passer du produit scalaire aux normes, et réciproquement. En pratique, cela permet d'utiliser au mieux les données : produits scalaires ou normes.

=> OK

C'est un peu différent lorsque le corps de base est le corps des complexes. Tu peux regarder du côté des espaces préhilibertiens complexes.

=> j'ai jeté un coup d'oeil et d'après ce que j'ai compris c'est la même chose sauf qu'on fait intervenir des conjugués (car pour les nombres complexes, si on veut avoir une norme alors on f=> ait le complexe par son conjugué). ça n'a pas l'air grandement différent à première vu, on dirait juste une generalisation en prenant en compte le conjugué.

Ce que tu as dis précédemment est vrai dans tout espace préhilbertien réel (sauf pour les expressions des normes, qui n'ont un sens qu'en dimension finie), donc en particulier les espaces des fonctions de carré sommable vérifient ces propriétés. Comme l'on travaille en dimension infinie, cela peut être plus difficile à se représenter.

=> OK super, en fait le cas des fonctions est juste une extension du cas vectoriel
=> pour les normes j'avais lu ce que tu m'as dis (sens que si l'espace est fini) mais je n'ai pas vraiment fait attention à ceci car pour moi qui suis plutot physicien je ne manipule que des chos=> es finies . Les espaces de fonctions de carré sommable => ok, car sinon les expression du type n'existerai pas et du coup pas mal de formules montrés ci => dessus ne serait plus definie ? (il existe beaucoup de fonction qui n'on pas des carrés sommable? car je ne vois pas de contre exemple... )

Les normes ne sont également plus toutes équivalentes : tu peux regarder les normes et (dans des espaces où ces expressions ont un sens).
La norme infini est plus facile à représenter. Pour les autres, en interprétant l'intégrale d'une fonction positive comme l'aire sous la courbe, on peut dire que plus la norme est grande plus la courbe est éloignée de l'axe des abscisses.

=> je ne saisi pas trop mais ce n'est pas grave car comme je l'ai dit plus haut les espaces infini ne m'interessent pas

Tu devrais faire quelques dessins avec des fonctions simples.

=> si je prends cosinus et sinus qui sont des fonctions orthogonales (pour une meme pulsation) et que je les traces sur un graphique :
=> la seule chose qui me saute aux yeux est que lorsqu'une est maximal l'autre est nul, et vis versa. C'est ça l'orthogonalité de fonctions ?

Je ne vois pas trop le sens de cette phrase...

=> en fait ce que je voulais dire c'est que si je prends deux vecteurs et et qu'il sont orthogonaux
=> ceci est vrai quel soit la dimension de l'espace ou des vecteurs
=> par contre, si je prends deux polynomes orthogonaux (de type Legendre) ils ne sont orthogonaux qu'entre -1 et +1. ça veut dire que l'orthogonalité dépend de la taille de mes fonctions=> ou de mon espace (ou un truc dans ce genre...) car pour deux vecteurs quelque soit la maniere dont je les regardes ils seront toujours orthogonaux, par contre pour les fonctions non...

Tout à fait. Pour la démontrer, on se donne deux vecteurs u et v. Alors . Or en développant, on obtient un trinôme en : . Donc son discriminant est négatif, ce qui donne l'inégalité de Cauchy-Schwartz.

super, je comprends

Cela dépend comment l'on définit les vecteurs. Pour moi, les vecteurs sont les éléments d'un espace vectoriel, donc des fonctions peuvent être des vecteurs

=> ah OK je comprends ce que tu veux dire (bien que moi j'ai du mal à voir une fonction comme un vecteur...)

Un exemple de produit scalaire est . Il me semble qu'il y a un résultat qui montre que tout produit scalaire est d'une forme approchante.

=> ah OK. ceci est un produit scalaire car il respecte tous ce qu'on a dit avant (forme bilineaire...blablabla...?)

=> Il y a de telles relations, on les retrouve principalement dans des problèmes, pas tellement dans les cours. Mais je n'en ai pas vraiment en tête, il faudrait que je cherche un peu.

=> ce n'est pas grave, cette question n'a pas vraiment d'importance (je ne sais même plus trop ce que je voulais dire par là...

Que représente ?

=> c'est l'inconnu de ma relation de recurrence (en fait ce que j'ai mis en indice de X est pas des puissances mes des indices du type

merci Seiros pour ton aide, c'est vraiment très gentil
de plus j'aime beaucoup tes explications

[Seirios]

=> OK. par contre je ne comprends qu'es ce qu'une métrique : 1°) si ce n'est pas dans les espaces vectoriels que l'on trouve ceci c'est dans quels espaces ?
=> 2°) qu'es ce ? l'equivalent d'une norme dans un autre espace ? 3°) dans la realité comment un peut se représenter ceci ?

Une métrique c'est une fonction avec des propriétés plus faibles que celles d'une norme : http://fr.wikipedia.org/wiki/Espace_m%C3%A9trique. Le problème avec la notion de norme, c'est quelle nécessite de se trouver dans un espace vectoriel (la définition d'une norme fait apparaître la somme de deux éléments et le produit par un scalaire). Donc lorsque l'on travaille dans un cadre avec une structure plus faible, on peut utiliser une métrique. Par exemple, la valeur absolue sur n'importe quel sous-ensemble de IR définie une métrique.

Pour l'équivalence des normes, il faut simplement que deux normes équivalentes aient les mêmes propriétés "intéressantes". En l'occurrence, les propriétés intéressantes sont les propriétés topologiques (par contre ce n'est plus le cas pour les espaces métriques ; en fait en général on s'intéresse à plus que la topologie, mais la structure d'espace vectoriel fait que ce qui nous intéresse habituellement est confondu avec la topologie (je n'en dit pas plus, cela risquerait de nous emmener trop loin)). Donc on va dire que deux normes sont équivalentes si elles définissent la même topologie.
Si tu n'as pas beaucoup de connaissance en topologie, tu peux dire de manière équivalente que ce qui nous intéresse, c'est la convergence des suites, donc on va dire que deux normes sont équivalentes si toute suite convergeant vers un point pour une norme converge également vers ce point pour l'autre.

J'insiste que la mesure d'une distance donnée par la norme n'a aucune importance : on peut toujours changer cette valeur par une multiplication par un scalaire (si N est une norme, alors aN également (où a est un réel strictement positif)), ce qui revient à dire que l'on a changé l'unité de la mesure.

=> pour les normes j'avais lu ce que tu m'as dis (sens que si l'espace est fini) mais je n'ai pas vraiment fait attention à ceci car pour moi qui suis plutot physicien je ne manipule que des chos=> es finies .

Pourtant les espaces de la mécanique quantique sont le plus souvent de dimension infinie

Les espaces de fonctions de carré sommable => ok, car sinon les expression du type n'existerai pas et du coup pas mal de formules montrés ci => dessus ne serait plus definie ? (il existe beaucoup de fonction qui n'on pas des carrés sommable? car je ne vois pas de contre exemple... )

Pour trouver des contre-exemples, il suffit de trouver des fonctions non intégrable et d'en prendre la racine carrée. Par exemple, les fonctions du type avec .

=> en fait ce que je voulais dire c'est que si je prends deux vecteurs et et qu'il sont orthogonaux
=> ceci est vrai quel soit la dimension de l'espace ou des vecteurs
=> par contre, si je prends deux polynomes orthogonaux (de type Legendre) ils ne sont orthogonaux qu'entre -1 et +1. ça veut dire que l'orthogonalité dépend de la taille de mes fonctions=> ou de mon espace (ou un truc dans ce genre...) car pour deux vecteurs quelque soit la maniere dont je les regardes ils seront toujours orthogonaux, par contre pour les fonctions non...

L'orthogonalité dépend complètement du produit scalaire. Si tu changes les bornes de l'intégrale, tu changes le produit scalaire et a priori l'orthogonalité également. Mais c'est aussi le cas avec les vecteurs classiques : tu peux tout à fait changer le produit scalaire et trouver que des vecteurs ne sont plus orthogonaux.

=> c'est l'inconnu de ma relation de recurrence (en fait ce que j'ai mis en indice de X est pas des puissances mes des indices du type

Donc si je compriens bien, on a la relation de récurrence , et l'on cherche une condition sur A pour que cette suite converge ? Y a-t-il certaines hypothèses sur A ? (symétrique par exemple ?)

Sinon, c'est probablement un raisonnement par récurrence à partir de , mais cela reste à montrer. Tu utilises une norme particulière ?

[Seirios]

=> j'ai du mal à comprendre comment une norme peut être nulle sans que ce qui le compose est nul....

C'est en fait impossible, cette propriété fait partie de la définition d'une norme.

Ce dont parle MisterDa est l'espace sur lequel on définit la semi-norme . En effet, ici l'intégrale peut être nulle sans que la fonction le soit.

Il y a alors deux manières de résoudre le problème : (i) on restreint l'espace pour ne garder que les fonctions continues, auquel cas définit bien une norme, (ii) on quotiente l'espace par la relation d'égalité presque partout (puisque la norme est nulle ssi la fonction est nulle presque partout), ce qui est en général assez brutal, mais ici cela se prête bien à la situation.

=> je n'ai pas compris ce passage... que veut dire quotienter (diviser ?) je n'ai pas compris ce que tu voulais dire.

On quotient un ensemble par une relation d'équivalence : http://fr.wikipedia.org/wiki/Relatio...cture_quotient

[invite9c7554e3]

resalut seirios, je reponds à ta dernière question le reste je crois que j'ai compris. Si besoin je reposerai des questions plus tard. en tout cas merci enormement de ton aide !!!!

Donc si je compriens bien, on a la relation de récurrence , et l'on cherche une condition sur A pour que cette suite converge ?

oui, c'est tout à fait cela

(symétrique par exemple ?)

oui je crois que ce que j'ai dis est vrai que dans le cas où A est symétrique... mais dans le cas non symétrique ça donnerai quoi ?

Tu utilises une norme particulière ?

aucune idée...

[Médiat]

=> 1°) je ne comprends pas vraiment cette notion d’équivalence car comme tu le dis dans 2°) ces normes ne donnent pas les mêmes mesures... du coup qu'entend t on par equivalent ? pour moi equivalent veux dire "egale, equivalent..." ?
=> de meme, je ne comprends pas la différence entre "mesure" et "topologie"

=> d'accord je comprends ce que tu veux dire, mais si tu additionnes toutes les normes 2 de tous les petits deplacement effectué tu arrivera bien sur la bonne distance.
=> par contre l'inverse n'est pas vrai : si tu prends un vecteur quelconque, la norme 1 (somme des composantes) ne donnera pas la vrai distance...

Bonjour

Il faut que vous compreniez deux choses :
1) Egal et Equivalent sont deux notions très différentes, équivalent ici, veut dire que toutes les fonctions continues avec une des normes sont continues pour l'autre.
2) Il n'existe pas de distance plus vraie qu'une autre (allez dire à un marin que la distance entre deux ports est la distance euclidienne ...), la distance euclidienne est en gros ce que l'on appelle la distance à vol d'oiseau, malheureusement, je ne suis pas un oiseau. Si vous êtes à l'angle d'un immeuble de 50m de côté, pour vous rendre à l'angle diagonalement oppposé, vous allez parcourir 100m et non 70.7m, la "vraie" distance est donc 100m ici (pour un oiseau volant au dessus de l'immeuble, c'est bien 70.7m)

[invite9c7554e3]

merci Mediat pour tes remarques et merci tous le monde pour votre intérêt pour mes questions.
je crois qu'a présent tous est plus clair dans mon esprit (dans le cas vectoriel en tout cas).

=> pour le cas des fonctions j'ai encore quelques questions:

=> si je prends cosinus et sinus qui sont des fonctions orthogonales (pour une meme pulsation) et que je les traces sur un graphique :
=> la seule chose qui me saute aux yeux est que lorsqu'une est maximal l'autre est nul, et vis versa. C'est ça l'orthogonalité de fonctions ?

=> es ce que l'othogonalité de fonction peut se voir selon vous comme ceci ?

L'orthogonalité dépend complètement du produit scalaire. Si tu changes les bornes de l'intégrale, tu changes le produit scalaire et a priori l'orthogonalité également. Mais c'est aussi le cas avec les vecteurs classiques : tu peux tout à fait changer le produit scalaire et trouver que des vecteurs ne sont plus orthogonaux.

=> Ok je comprends ce que tu veux dire. En fait j'ai posé cette question car en physique (ou autre) lorsque l'on connait des points expérimentaux et que l'on veut les ajuster par un modèle => mathématique on les ajuste souvent par des polynomes orthogonaux. (du coup ça m'amène à une autre question : pourquoi utiliser des polynomes orthogonaux plutôt que des polynom=> es classiques ??) Si je prends les polynomes de Legendre ils ne sont orthogonaux qu'entre -1 et 1 or si je fais une interpolation de mes données expérimentales sur un domaine -100 + 100 quelle est la conséquence ? Les polynomes ne seront orthogonaux qu'entre -1 et +1 et sur le reste du domaine il ne le seront plus ? ou il le seront toujours car on peut decouper le domaine -100 +100 en 100 domaines -1 +1 ???

[invite9c7554e3]

J'ai aussi des questions aussi pour le cas matriciel :

=> concernant les matrices qu'appel t on une norme ? là je ne comprends pas la notion de distance car une matrice ne représente en aucun cas un distance, à la limite une transformation d'un vecteur qui lui contient l'information distance....
=> il me semble me souvenir que dans des cours de mecaniques que j'ai eu (un peu plus jeune) notre prof parlais de métrique avec certaine matrice... du coup il doit bien y avoir une notion de distance car si j'ai compris ce que vous m'avez dit une metrique n'est rien d'autre qu'un objet mathematique pour mesurer des distances ? et generalement on utilise les normes pour cela (qui sont donc des metriques?)

ps: ceci m'amène pas loin de ce sujet, je pense que les choses que je ne comprends pas sur les normes matricielles font que je n'arrive pas à résoudre le problème que j'ai ici:
http://forums.futura-sciences.com/ma...-spectral.html

[invite3ce72bf9]

Je pense que ton problème vient du fait que tu confonds norme et distance. En gros la norme A concerne uniquement l'objet A.
Une distance entre deux objets A et B peut être obtenue en calculant la norme de la différence (en supposant que cela ait un sens de faire A-B).

[invite9c7554e3]

Je pense que ton problème vient du fait que tu confonds norme et distance. En gros la norme A concerne uniquement l'objet A.
Une distance entre deux objets A et B peut être obtenue en calculant la norme de la différence (en supposant que cela ait un sens de faire A-B).

d'accord, je comprends bien à présent, merci.

Par contre juste un dernière question:
=> dans un espace vectoriel la distance entre deux points et la norme de la différence
=> si on fait la meme chose dans un espace de fonction ou pour des matrices (la norme de la différence) on aura pas forcement une distance... es ce qu'on peut donner une image a ceci qui se rapproche d'une distance ?

[Seirios]

Une précision sur le lien entre norme et métrique : on peut définir une distance canonique à partir d'une norme N par l'application , mais l'on ne peut pas nécessairement associée une norme à une métrique.

Sinon, de manière générale, il bien voir que dans les espaces fonctionnels, les fonctions sont des vecteurs et/ou des points. En mathématiques, il ne faut pas avoir peur de regarder les choses de manière abstraite (souvent, on ne comprend vraiment les notions qu'après les avoir intensément utilisées).

[invite9c7554e3]

merci Seiros pour ton aide