Recherche d'un equivalent

[invite43fa3b15]

Bonjour tout le monde, dans le cadre de mon tipe (sur un jeu de cartes), je suis amené à trouver un équivalent d'une somme assez compliquée, je vous montre la bête :



Ici p est un entier fixé, c'est k l'indice de la somme qui varie de 0 à n-p.
Je cherche l'équivalent quand n tend vers l'infini, alors avec Maple, je trouve que l'équivalent est (avec e la constante d'Euler). Et
j'aurai envie de dire "on le sent bien" puisque si on l'écrit les termes de la somme les vont tendre vers 1 et il va rester les dont la somme va donner e (mais, ça ressemble pas trop à une démonstration). Alors voila, je suis un peu coincé, j'avais pensé à en prendre le logarithme et utiliser l'encadrement classique du ln : , mais j'ai pas aboutie
Donc, pour les courageux qui auraient un peu de temps à perdre, bon appétit
(Au fait je suis en math spé et on a déja fait le cours sur les séries. Aussi veuillez excuser mon orthographe)
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[Tiky]

Bonsoir,

C'est en fait un problème d'inversion limite-intégrale (les sommes étant des intégrales particulières). On peut le démontrer sans aucun théorème. Je fixe l'entier naturel p > 0.
Pour simplifier les notations, je pose pour tout entier naturel k, la suite définie telle que :
si et sinon.

On a donc

On a alors .

On veut donc montrer que



Soit . On remarque que ,
On choisit maintenant un tel que
Donc

Le reste est facile .

[invite43fa3b15]

Et bien merci beaucoup d'avoir répondu aussi vite, j'étais loin de penser à quelque chose comme ça, j'ai pas suffisamment de temps pour regarder ça dans les détails mais ça à l'air super intéressant. J'avais finalement trouvé quelque chose mais je ne suis pas sur que ça fonctionne, je posterai ce que j'ai fait un plus tard, mais à mon avis c’est bien moins propre que ce qu'on me propose
Merci encore et bonne soirée.

[Tiky]

Si tu connais un peu de théorie de l'intégrale de Lebesgue, on peut aussi utiliser le théorème de converge dominée ou même seulement le théorème de Beppo Levi.
Tu considères l'espace mesurable et tu le munis de la mesure de comptage .

La suite de fonction de dans est une suite
de fonctions mesurables positives croissantes car . Elle converge vers la fonction

On a donc d'après le théorème de Beppo Levi :


Pour le théorème de converge dominée, il faut utiliser la domination (que j'ai utilisée dans ma première démonstration !) :
Or

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