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fonction et définition !



  1. #1
    ansset
    Animateur Mathématiques

    fonction et définition !


    ------

    bonjour,
    la question porte sur la différence entre " fonction" et "définition".
    en fait c'est un débat ancien qui m'amène à ce sujet.
    la question était de "chercher" les fonctions définies de !R dans !R tel que f(x+y)=f(x)+f(y)
    je ne revient pas sur les démonstrations.
    la réponse est que dans Q on obtient obligatoirement f(q)=q*f(1)
    mais ceci à mon grand désaroi n'est pas extrapolable dans R sauf si elle est continue au moins en un point.
    ( même si Q est dense dans R ).
    donc on ne peut pas démontrer que f(x)=x*f(1).

    ce qui me titille les neurones , c'est qu je crois pas qu'on ait trouvé d'exemple explicite d'une telle fonction.
    (j'ai rechercher le fil, mais sans sucès )

    ce qui me "soulage" un peu c'est la différence entre une fonction et une définition .
    si je ne dis pas de bétise :
    Définition : I est un intervalle ou une réunion d’intervalle.
    On appelle fonction définie sur l’ensemble I, tout procédé qui à chaque élément de I associe au plus un nombre réel.


    donc pas obligatoirement 1 , il peut ne pas y en avoir.

    est ce une partie de réponse, ou bien sais on décrire une "application" bizaroide qui satisfasse la proposition initiale sans être affine
    merci pour vos éclairages.

    -----

  2. #2
    God's Breath

    Re : fonction et définition !

    Une fonction de R dans R, telle que f(x+y)=f(x)+f(y) pour tout couple (x,y) de nombres réels, satisfait f(qx)=qf(x) pour tout nombre rationnel q et tout nombre réel x.
    Les fonctions cherchées ne sont donc rien autre que les applications linéaires du Q-espace vectoriel R dans lui-même.
    Or une application linéaire est parfaitement définie l'image d'une base.

    Soit donc B=(ei) une Q base de R (mais on ne sait pas expliciter une telle base). Pour toute famille (xi) de nombres réels, il existe une application Q-linéaire de R dans R, et une seule, telle que f(ei)=xi pour tout indice i.
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  3. #3
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : fonction et définition !

    tout à fait d'accord avec les premières lignes.
    en revanche j'ai plus de mal avec les 2 dernières.
    tu parles bien "d'application" et unique mais sur une Q-base qu'on ne sait expliciter. ?

    je me suis fait un shampoing, mais je me gratte tj la tête
    ou alors c'est la notion de Q-base qui me pose problème ?
    Dernière modification par ansset ; 30/01/2012 à 11h05.

  4. #4
    Médiat

    Re : fonction et définition !

    Bonjour,

    est un espace vectoriel de dimension sur .

    Une Q-base ici, est donc une base de l'espace vectoriel sur le corps .
    Dernière modification par Médiat ; 30/01/2012 à 12h36. Motif: Latex
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : fonction et définition !

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    Bonjour,

    est un espace vectoriel de dimension sur .

    Une Q-base ici, est donc une base de l'espace vectoriel sur le corps .
    OK et merci!
    donc c'est bien une question de cardinal , non ?
    alors que Q et N sont équipotents ...
    ( ce qui peut sembler "contre-intuitif" au départ, car Q est dense dans R mais pas N )

    j'espère ne pas me planter !
    cordialement.
    Dernière modification par Médiat ; 30/01/2012 à 12h37. Motif: Latex

  7. #6
    JPL
    Responsable des forums

    Re : fonction et définition !

    Un petit ménage a été fait : un propos désagréable, et une réaction (devenue inutile) à ce propos.
    Rien ne sert de penser, il faut réfléchir avant - Pierre Dac

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