fonction et définition !

[ansset]

bonjour,
la question porte sur la différence entre " fonction" et "définition".
en fait c'est un débat ancien qui m'amène à ce sujet.
la question était de "chercher" les fonctions définies de !R dans !R tel que f(x+y)=f(x)+f(y)
je ne revient pas sur les démonstrations.
la réponse est que dans Q on obtient obligatoirement f(q)=q*f(1)
mais ceci à mon grand désaroi n'est pas extrapolable dans R sauf si elle est continue au moins en un point.
( même si Q est dense dans R ).
donc on ne peut pas démontrer que f(x)=x*f(1).

ce qui me titille les neurones , c'est qu je crois pas qu'on ait trouvé d'exemple explicite d'une telle fonction.
(j'ai rechercher le fil, mais sans sucès )

ce qui me "soulage" un peu c'est la différence entre une fonction et une définition .
si je ne dis pas de bétise :
Définition : I est un intervalle ou une réunion d’intervalle.
On appelle fonction définie sur l’ensemble I, tout procédé qui à chaque élément de I associe au plus un nombre réel.

donc pas obligatoirement 1 , il peut ne pas y en avoir.

est ce une partie de réponse, ou bien sais on décrire une "application" bizaroide qui satisfasse la proposition initiale sans être affine
merci pour vos éclairages.
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[God's Breath]

Une fonction de R dans R, telle que f(x+y)=f(x)+f(y) pour tout couple (x,y) de nombres réels, satisfait f(qx)=qf(x) pour tout nombre rationnel q et tout nombre réel x.
Les fonctions cherchées ne sont donc rien autre que les applications linéaires du Q-espace vectoriel R dans lui-même.
Or une application linéaire est parfaitement définie l'image d'une base.

Soit donc B=(e_i) une Q base de R (mais on ne sait pas expliciter une telle base). Pour toute famille (x_i) de nombres réels, il existe une application Q-linéaire de R dans R, et une seule, telle que f(e_i)=x_i pour tout indice i.

[ansset]

tout à fait d'accord avec les premières lignes.
en revanche j'ai plus de mal avec les 2 dernières.
tu parles bien "d'application" et unique mais sur une Q-base qu'on ne sait expliciter. ?

je me suis fait un shampoing, mais je me gratte tj la tête
ou alors c'est la notion de Q-base qui me pose problème ?

[Médiat]

Bonjour,

est un espace vectoriel de dimension sur .

Une Q-base ici, est donc une base de l'espace vectoriel sur le corps .

[A voir en vidéo sur Futura]

[ansset]

Bonjour,

est un espace vectoriel de dimension sur .

Une Q-base ici, est donc une base de l'espace vectoriel sur le corps .

OK et merci!
donc c'est bien une question de cardinal , non ?
alors que Q et N sont équipotents ...
( ce qui peut sembler "contre-intuitif" au départ, car Q est dense dans R mais pas N )

j'espère ne pas me planter !
cordialement.

[JPL]

Un petit ménage a été fait : un propos désagréable, et une réaction (devenue inutile) à ce propos.