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Sur les applications lineaires.



  1. #1
    yootenhaiem

    Sur les applications lineaires.


    ------

    Bien le bonjour à vous,
    Je souhaite vérifier la conformité d'un résultat que j'ai rencontré dans un ouvrage de mathématiques, concernant le calcul différentiel.
    On a trouvé deux applications linéaires, et , de vers; où deux espaces vectoriels de dimension finie.
    On a trouvé cela:

    Soit un vecteur appartenant a un ouvert de . ; quand h->0.
    On en déduit donc par définition: Pour tout epsilon positif, il existe un positif tel que appartient a la boule fermée de centre 0 et de rayon tel que: et on annonça:
    Puisque L-T est linéaire alors on a lll L-T lll<epsilon, tel que epsilon est positif quelconque. où lll.lll est la norme subordonnée.
    Merci de clarifier l’enchaînement.
    Cordialement,

    -----
    «Il faut toute la vie pour apprendre à vivre.»

  2. Publicité
  3. #2
    yootenhaiem

    Re : Sur les applications lineaires.

    Est-ce triviale? car j'ai du démontrer le résultat en 1 page... et j'ai utilisé la complétude de E et F. Donc est-ce que ce résultat ce généralise sur n'importe quel Espace vectoriel ou exclusivement sur les espaces de dimension finie ( voire complet en toute rigueur.)
    «Il faut toute la vie pour apprendre à vivre.»

  4. #3
    God's Breath

    Re : Sur les applications lineaires.

    Bonjour,

    Je note : . La définition de est :



    Y a-t-il un problème à ce niveau ?

    On en déduit que est majoré par sur la boule privée de son centre.

    Y a-t-il un problème à ce niveau ?

    La norme subordonnée est la borne supérieure de sur la boule privée de son centre.

    Y a-t-il un problème à ce niveau ?

    Donc . On en conclut que minore , donc que et est l'application linéaire nulle.

    Y a-t-il un problème à ce niveau ?

    Remarque sur la norme subordonnée : on définit généralement comme la borne supérieure de sur la boule privée de son centre.

    Mais la linéarité de prouve immédiatement que, par homothétie, prend les mêmes valeurs, donc admet la même borne supérieur sur toutes les boules privées de leur centre.
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  5. #4
    yootenhaiem

    Re : Sur les applications lineaires.

    Bonjour,
    J'ai fais a peu près la même chose.
    J'ai considéré cependant une base B=(e1,e2,...,en) et j'ai montré que: llf(x)ll/llxll est nulle pour tout x.
    Donc peut-on généraliser ce résultat sur tout espace vectoriel? J'ai pensé a l'axiome du choix, mais je pense que ce que vous avez fait ne se base aucunement sur la complétude encore moins sur la finitude de l'espace.
    «Il faut toute la vie pour apprendre à vivre.»

  6. A voir en vidéo sur Futura

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