questions sur les applications linéaires , matrices associées et ses inverses

[inviteb17448ba]

bonjour

mais questions

1) si en a trouvé la matrice associée a une application linéaire et son inverse . comment faire pour trouver l'application linéaire réciproque de notre application linéaire et sous qu'elle condition ça existe

2) si f:E1----->E2 est une application linéaire avec E1 E2 sont de même dimension finie , alors f est injective , surjective et bijective
d'autre part si E1 et E2 sont de dimension différents qu'elle est la relation entre injective bijective et surjective (f injective --->f surjective !!!!! ou f bijective ---> f surjective )

merci de m'éclairer
-----

[invite371ae0af]

pour la 1) pour trouver la matrice de l'application réciproque:
imaginons que la matrice d'une application linéaire soit a1=e1+e2 a2=e2-e3 et a3=e1-e3
pour trouver la matrice de la fonction réciproque tu devras exprimer e1,e2,e3 en fonction de a1,a2 et a3


pour la question 2) ce que tu dis est faux: si f:E1----->E2 est une application linéaire avec E1 E2 sont de même dimension finie , alors f est injective , surjective et bijective;

f est injective si kerf={0} et surjective si Imf=E2
si les 2 conditions sont vérifiées alors f est bijective

une autre manière de voir avec tes hypothèses:si f:E1----->E2 est une application linéaire avec E1 E2 sont de même dimension finie

est de calculer l'inverse de la matrice de f
si elle est inversible alors f est bijective et du coup on a f surjective et injective
f est un isomorphisme de E1 dans E2

[invitedb1946d2]

En vérité, la confusion vient à mon avis du fait qu'une seule des deux hypothèses suffit.

Considérons une application linéaire entre deux espaces vectoriels de même dimension finie n :

Si cette application est injective, alors elle est surjective (donc bijective)
Si cette application est surjective, alors elle est injective (donc bijective)

Mais une application linéaire n'est pas nécessairement bijective : prend par exemple f de R² dans lui même qui à tout (x,y) associe (-x,0).

[inviteb17448ba]

donc f injective et surjective équivalents f bijective

merci j'ai bien compris

autre chose si E1 E2 ne sont pas de même dimension est ce qu'il y a une relation entre injective bijective surjective

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitedb1946d2]

Supposons pour reprendre tes notations E1 un espace vectoriel de dimension n et E2 un espace vectoriel de dimension m, différent de n.

Soit f une application linéaire de E1 dans E2.

Tu es sûr que cette application n'est pas bijective, car le cas échéant, tu aurais dim E1=dim E2 soit m=n ce qui est faux par hypothèse ( tu peux essayer la démo pour t'entraîner)

Par conséquent : si m n'est pas égale à m alors

Si f est injective elle n'est nécessairement pas surjective.
Si f est surjective elle n'est nécessairement pas injective.

Visuellement tu peux te dire que comme un de tes espaces est plus "gros" que l'autre, alors soit certaines images ne seront pas atteintes, soit certains éléments seront atteints plusieurs fois.

[invitedb1946d2]

A la relecture, n'oublie surtout pas cette propriété fondamentale que tu ne parais pas maîtriser dans tes messages :

[f injective et f surjective] équivaut à [f bijective]

C'est même une définition.

[inviteb17448ba]

merci beaucoup beaucoup

dernière chose

si on a une application linéaire de E dans E lui même donc endomorphisme et on a trouvé la matrice associée et on a vérifier qu'elle est inversible puis on a calculer son inverse et en veux trouver l'application réciproque , je pense qu'il suffit de multiplier la matrice inverse par une matrice unicolonne Xi de même nombre de ligne que la matrice inverse pour trouver l'application inverse

[invitedb1946d2]

Oui, c'est juste, du moins dans l'idée. Dans la forme, tu obtiendras par cette multiplication une nouvelle matrice colonne dont les coefficients seront les coordonnées dans ta base du vecteur f(x), en fonction des coordonnées dans ta base de ton vecteur x. L'objet mathématique que tu obtiens est donc une matrice, et non une application

J'espère que ça t'auras un peu aidé.

[inviteb17448ba]

ça ma beaucoup aidé et non pas un peu

merci

que dieu te bénis