Anneau d'entier relatifs

[inviteae1101ca]

Bonsoir, j'ai un problème avec cette exercice :
Soit . On me demande de vérifier que est un sous-anneau de , ensuite on me donne l'application qui va de vers avec . Les questions suivantes me demandent d'étudier les propriétés de l'application .
Maintenant on me dit que , désigne les inversibles de . La question est de montrer que est infini. On me dit d'utiliser le réel et de faire un raisonnement par l'absurde.
Je ne sais pas par quoi démarrer ni ce que je dois poser . Merci d'avance pour votre aide.

est l'ensemble des complexes et l'ensemble des entiers relatifs.
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[invite76543456789]

Salut!
Remarque que 1-racine de 2 est bien un tel element, maintenant examine les puissances successives de 1-racine de 2, la seule chose que tu dois verifier que c'est que 1-racine de 2 n'est pas "de torsion", c'est a dire qu'il n'existe pas de k tel que (1-racine 2)^k=1.

[inviteae1101ca]

Je ne comprends pas . Où est ce que tu veux en venir ?

[invite76543456789]

La ou je veux en venir c'est que les puissances de 1-racine de 2 sont tous des inversibles et qu'il suffit de verifier qu'ils sont tous distincts et donc de verifier qu'il n'existe pas de k tel que (1-racine de 2)^k=1

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteae1101ca]

Supposons comme tu le dis qu'il n'existe pas de k, qu'est que ce ça va apporter de nouveau ? Je ne vois pas l'idée derrière ton affirmation.

[invite76543456789]

Ce que ca va apporter de nouveau c'est que l'ensemble des {(1-racine de 2)^n|n dans Z} sera un ensemble infini d'elements inbversibles de ton anneau, et donc il y aura bien une infinité d'elements inversibles dans ton anneau. Ce qui est ce que tu veux demontrer.