Bonsoir,
j'ai l'exercice suivant à résoudre:
soit f définie sur R une fonction périodique admettant 1 et sqrt2 comme période et continue en O
a) montrer que si (a,b) appartient à Z^2 alors a+bsqrt2 est encore une période de f
b) montrer que pout tout n entier nat', il existe (an,bn) appartenant à Z^2 tel que (sqrt2-1)^n=an+bn(sqrt2)
En déduire que ((sqrt2)-1)^n est une période de f.
c) pour tout réel x on définit pn(x)=E(x/(sqrt(2)-1)^n), démontrer que lim lorsque n tend vers l'infinit de ((sqrt(2)-1)^n)*pn(x) est x, et que f(x)=f(x-(sqrt(2)-1)^n*pn(x)) puis en déduire que f(x)=f(0)
d) énoncer le théorème démontré dans cet exercice
globalement j'ai réussis, en fait j'ai de gros doutes sur la toute dernière question, dois je juste dire que si f est continue en 0 et qu'elle est périodique en 2 entier A et B tel que (A+B)^n soit une période de f, alors f(x)=f(0) ou faut il préciser le rôle de la partie entière ou de la limite?? quelqu'un connait-il ce théorème? Merci
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