[Algèbre] F un sous espace vectoriel qui n'admet qu'un seul supplémentaire

[invitec41a5aae]

Bonjour,

Voilà, l'énoncé se formule ainsi "E de dimension n>=2 et F est un sous espace vectoriel de E tel qu'il n'admette qu'un supplémentaire. Que peut-on dire de F ?".
J'aimerais bien montrer que F = {0} ou E, mais je bloque. Quand je suppose que F est {0}, je pose donc G1 et G2 sous sous espaces vectoriels de E dont (g1,...,gm) et (g'1, ..., g'm) sont des bases respectives, et je suppose qu'il existe i0 tel que gi0 soit différent de g'i0.
Pour x dans E, je peux donc écrire x comme une combinaison d'éléments de G1 et de G2, ce qui m'amène à xi0*(gi0-g'i0)=0 (avec xi0 la i0-ème coordonnées de x), et comme gi0 différent de g'i0, on a xi0=0. Toutefois, je ne vois pas en quoi c'est absurde.

Peut-être que ma méthode est fausse, mais je ne vois pas trop comment partir sinon.

Merci d'avance !
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[invite57a1e779]

Bonjour,

Si F n'est ni {0}, ni E, on fixe une base (e₁,...,e_p) de F.

On complète cette base en une base de (e₁,...,e_n) de E, ce qui fournit deux supplémentaires distincts de F : Vect(e_p+1,...,e_n) et Vect(e₁+e_p+1,...,e_n).

[invitec41a5aae]

Pas bête. Mais comment peut-on être assuré que Vect(ep+1,...,en) et Vect(e1+ep+1,...,en) sont bien distincts ?

Et réciproquement, il faudrait montrer que tout sous espace vectoriel strict de E admet une infinité de supplémentaires. Autant en construire des particuliers, ça peut le faire (par exemple avec ce que tu as fait ci-dessus), mais en montrer l'existence d'une infinité, c'est une autre paire de manches...

[inviteea028771]

Pour montrer qu'ils sont distincts, c'est simple :

Vect(ep+1,...,en) contient ep+1
Vect(e1+ep+1,...,en) contient e1+ep+1

Si ces deux espaces sont égaux, alors il contient (e1+ep+1)-(ep+1) = e1, ce qui est contradictoire avec le fait que c'est un supplémentaire de F

Ensuite pour en construire une infinité :
Vect(t*e1+ep+1,...,en) avec t réel donne une infinité d'ev distincts (même méthode pour montrer qu'ils sont distincts)

[A voir en vidéo sur Futura]