Nature d'une série

[invitea18757b7]

Bonsoir à tous et à toutes !

Voilà, je viens d'aborder les séries numériques mais j'ai encore du mal à assimiler tous les théorèmes.
Je bloque ici, sur trois 3 séries comportant toutes des racines (je trouve qu'ils sont plus durs à étudier car on peut rarement utiliser la règle de D'Alembert ou de Cauchy)

1)
Déjà, le terme général ne diverge pas grossièrement.
En voyant, ce terme, je pense que au théorème de la convergence absolue.
Or le module de l'exponentielle est égal à 1, ce qui ne me permet pas de conclure.

2)
Ici, intuitivement, en voyant l'allure du terme générale, je pense au théorème des séries alternées.
En fait, je devrais l'appliquer deux fois (au niveau du quotient de l'exponentiel et de l'exponentiel lorsque l'on multiplie par (-1)^n.
Est ce le bon raisonnement à avoir ? Il y a t-il une technique plus rapide ?

3)
Je pensais ici, faire un équivalent en +INF et dire que n+1 était équivalent à n et donc on obtient Un=0. La série diverge ?
Cela me parait un peu bizarre de faire un équivalent sous la racine.

Merci d'avance pour vos réponses et de vos explications.
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[Médiat]

Bonjour,

Je suppose que les séries sont :
1)
2)
3)

1) Cauchy marche très bien
2) La suite des valeurs absolues n'est pas décroissante, donc le critère des séries alternées ne fonctionne pas.
3) Quantité conjuguée

[invite2e5fadca]

Pour la deuxième, il faut utiliser un développement limité.

[invitea18757b7]

Merci,
je vais essayer vos conseils et je vous en reparle.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite69983ad4]

Sinon, il y'a aussi la formule d'Euler Mc-Laurin (http://en.wikipedia.org/wiki/Euler%E...laurin_formula ) qui te permet en général d'encadrer les sommes partielles par des intégrales, et ramène (peu ou prou) l'étude de séries à l'étude de la convergence d'intégrale.
L'idée est d'encadrer les sommes par:
- l'intégrale de fonctions dont on peu facilement avoir des idées sur la convergence de l'intégrale
- des infinitésimaux idéalement absolument (voire normalement) convergents

[Tiky]

Bonjour,

Trois solutions alternatives :

1) On peut chercher un équivalent simple car le terme est de signe constant.

2) Le terme est toujours de signe constant, on cherche donc un équivalent. Cela revient à faire un développement limité mais je
pense que dans ton cours on t'a donné un équivalent simple de en 0.

3) On peut majorer la valeur absolue du numérateur grâce à l'inégalité des accroissements finis.

[invitea18757b7]

Bonjour,

1) Je n'arrive pas à conclure avec Cauchy.

On peut chercher un équivalent simple car le terme est de signe constant.

Le terme de plus degré pour le polynome sous la racine ?
On aurait du e^-n et donc la limite en +INF est 0, la série divergerait.

Merci à tous pour vos conseils

[Tiky]

Je pense que tu devrais sérieusement revoir ton cours.
Le terme général d'une série convergente tend toujours vers 0. Toutefois s'il tend vers 0, ça ne suffit pas pour conclure que la
série converge. Ici ton terme général converge trivialement vers 0, ce n'est pas utile de chercher un équivalent pour savoir ça...

En revanche l'équivalent va te permettre de comparer ta série avec une série plus simple.
Il reste à démontrer que est bien un équivalent de . Je te laisse le soin
de le démontrer rigoureusement si c'est bien vrai. Il ne suffit pas d'écrire que car les équivalents
ne passent pas par la composition à gauche.

Exemple : mais

[Médiat]

1) Je n'arrive pas à conclure avec Cauchy.

Avez-vous calculé ?

[invite705d0470]

Du coup, il faut étudier , i.e la différence des deux fonctions.
On voit immédiatement, en écrivant qu'elle tend vers 0.
On peut (presque) conclure

[invite705d0470]

Et pour la troisième, on a du coup l'équivalent .
Mais je n'en suis vraiment pas encore aux séries, alors peut être que mes commentaires n'aident pas, auquel cas désolé.